Formola per cambiare una serie di potenze successive di y in un altra composta delle stesse potenze di x; ove basta sostituire i valori dei coefficienti a, b, c . . . che suppongonsi conosciuti.

Applicazione

Quale sarà il valore di y espresso in x, dato

y= Ax+B x3+ Cx5+ Dx+ onde

....

A5x5+5A4B x7+....

....

E moltiplicando ognuno pel coefficiente rispettivo che ha nella serie diretta, e riducendo a zero si avrà:

x= aym + bym+n+ cym+an+ dym±3n+....

la serie diretta.

Divido per semplicità l' uno e l'altro membro dell' equazio ne pel primo coefficiente di y ed avrò

e quindi yu", pelchè nel caso attuale che la serie è completa

sarà un più un' altra espressiene di u con coefficienti indeterminati : diremo dunque, facendo progredire gli esponenti di u come quelli

di

y= Aum + Bum +

y= um Bum + Cu m + Du m +

Fatte le potenze indicate dalla serie diretta si avrà:

ym+3n=

m

น

+ (m+n) Bu m

m+ 3n
+

m+3n

m
น +

Finalmente moltiplicando questi valori delle potenze di y pei coef ficienti della serie diretta; e riducendo a zero avremo:

Formula elegantissima; ma che riesce incomoda; giacchè volendosene calcolare il quinto, il sesto ec. termine fa d'uopo di molta fatica; laonde convien meglio, dovendone fare applicazione a delle serie parziali, servirci del ritorno delle serie; cioè del ritrovamento della serie inversa particolare.

TEORIA DEI LOGARITMI (').

Il logaritmo altro non è che un numero di una progressione arit. metica, corrispondente ad un altro numero di una progressione geometrica.

(*) L'Encyclopédie méthodique dit que le mot logarithme est formé des deux mots grecs λόγος et άριθμος, ce qui est vrai, et qu'il signifie discours sur les nombres, ce qui est asses ridicule. Mais l'auteur n'avait lu ni Néper ni Kèpler, et il ignorait sans doute que, chez les géomètres grecs, le mot λoyos signifie raison, ou rapport. Delambre Hist. de l'Astronomie moderne Discours prélim. pag. xxxiv.