1 E siccome qui y cade tra 4 e 5 faremo y = 4 + seguito. così di Proseguendo in questa guisa potr emo ottenere per x dei valori sempre più approssimati. Intanto osserviamo che il primo valo 5 è maggiore del vero. Il secondo è più piccolo del re di x = 2 22 3 vero. Il terzo ne è più grande, e così di seguito. Quindi s'avran. 13 no per a due serie di valori; gli uni saranno maggiori del vero, e gli altri minori: ma tutti generalmente convergono verso il valore di x. Di più ciascuna delle frazioni esprimente il valore di x è ridotta a suoi minimi termini, ed esprime il valore di più accuratamente di qualunque altra frazione concepita in termini minori. Finora nell'equazione y3—4y2+3y+1=o ritrovata più sopra non abbiamo considerato, che il solo valore di y compreso tra uno, e due; ma ve n'è un altro compreso tra 2 e 3. Essendo dunque 2 il numero intero prossi mamente inferiore al valore positivo di γ fare mo y=2+ 1 y ; avremo la trasformata y'3+y”—2y'—1=0. Questa equazione ha una radice compresa tra 1 e 2; faremo dunque ed avremo quest'altra trasformata y3—3y"'—4y”—1—0. E siccome qui y" cade tra 4 e 5 così faremo presa tra quattro terzi, e cinque terzi, dovremmo ora considerare quanto l'altra di tali radici trovasi maggiore di uno, e minore di due; vale a dire che tra 1 e 2 trovansi comprese le due radici positive dell'equazione data: e per approssimarci al vero valore della seconda radice si dovrà fare x=1+ cioè a dire si dovrà fare quel cal 1 Y colo medesimo, che si è fatto per avvicinarci al valore della prima radice; ossia di quella, che era compresa tra conseguenza, che si dovrà cadere su delle equazioni identiche a quelle, maneggiate poc'anzi; quindi i valori prossimi delle due radici positive di a son quelli, che abbiamo ritrovato; cioè La medesima equazione x3-7x+7=o ha oltre delle due radici ovvero tra -3 e 4. All'oggetto dunque di avere una maggiore ap 1 prossimazione faremo x=-3 ed avremo la trasformata y3—20y1—9y—1=0 y Qui essendo -20 il massimo coefficiente negativo sarà y compreso 4 tra 20 e 21: faranno dunque y=20+ e proseguendo innanzi ot y terremo dei valori sempre più prossimi al vero. Questo metodo si potrà estendere a delle equazioni di un grado qualunque; intanto conchiuderemo con una importante riflessione. Abbiamo veduto, che due delle radici dell'equazione x3-7x+7=0 conseguenza entrambe son comprese tra i numeri interi consecutivi 1 e 2; e che per approssimarci al vero valore, tanto di una di esse radici, quanto dell'altra si dovette fare indistintamente x=1+ y Giacchè dunque per compire i due valori di x si fa indifferentemente avrà due valori differenti; x=1+ 1 1 ne segue che l'espressione y 1 4 5 talmentechè 1+ forma il valore di x, che sta e ed 1+ y 3 3 5 6 3 modo y forma l'altro dei valori di x compreso tra e In ogni modo y è una frazione minore dell'unità, e quindi y>1. Sicchè la trasformata in y avrà due valori maggiori dell'unità. Questo è realmente quello, che noi abbiamo ritrovato nell'equazio 1 ne y3—4y2+3y+1=0 proveniente dalla supposizione x=1+. Se y poi tra 1 e 2 non vi fosse compresa che una sola radice di x, in non avrebbe, che un solo valore; e quindi l'equazione in Y non avrebbe che una sola radice >1. ་་ Questa considerazione è generale; per cui potremo generalmente dire, che se tra due numeri interi consecutivi a ed a + 1 esistano più radici di una data equazione; allora vi sarà qualcuna delle trasformate in y, y', y la quale avrà più radici maggiori dell'unità, dalla quale scenderanno poi quelle serie d'equazioni, le quali ci faranno conoscere in particolare tutte le radici, che ha l'equazione data, e che sono comprese tra' medesimi limiti a ed a+1. DELLE FRAZIONI CONTINUE. Per frazione continua s'intende una frazione, il cui denominatore è composto di un numero intiero e di una frazione, e il denominatore di questa è anche composto di un numero intiero e di una frazione, e così di seguito. Devesi l'invenzione di questa specie di serie a milord Brounker, che per mezzo di esse die' un approssimato valore del rapporto della circonferenza del circolo al raggio. Alcune ricerche trovansi su queste specie di espressioni nelle opere di Wallis; ma Huighens è quello che ne ha perfezionata la teoria. Eule ro, La Grangia, e Waring se ne sono poscia occupati con buon successo, e gli ultimi due l'hanno felicemente impiegata ai metodi di approssimazione per le equazioni determinate, ed ai problemi indeterminati. Noi considereremo la prima forma a+1 6+1 c+1 d+ ec. perchè è la più utile, e perchè poscia ci sarà agevole conoscere la natura dell'altra. Queste frazioni possonsi esprimere come frazioni ordinarie nella solita maniera: difatti se ci fermiamo al primo termine, il valore di questa espressione è a. se al secondo ab+1 al terzo abc+c+a (ab+1)c+a al quarto sarà |