ersten Abschnitt werden die älteren Methoden zur Lösung von diophantischen Gleichungen entwickelt, im zweiten und dritten die Methoden von Euler, Lagrange, Scheffler und Gauss. Im vierten Abschnitt wird die unbestimmte lineare Gleichung mit zwei Unbekannten mittels der Kettenbrüche gelöst, und im fünften die Methode von Binet mitgeteilt. Im sechsten giebt der Verfasser eine neue Methode zur Lösung von linearen Congruenzen, welche auf einem bekannten Satze von Wilson beruht und auf der Ausdehnung, welche ihm durch Gauss (Disq. Arithm. art. 70) gegeben ist. Im siebenten und letzten wird die Frage gestellt: Wie gross ist die Zahl der Lösungen der Gleichung k=4 1 a A in ganzen positiven Zahlen, wenn die Coefficienten. a1, a,..., an alle positive Primzahlen sind. Die Beantwortung dieser Frage weicht in mehreren Hinsichten von der Weise ab, nach welcher Hr. Weihrauch (Schlömilch Z. XX. 97) sie behandelt; doch die Resultate stimmen ganz überein. G. M. MANDL. On the generalization of a theorem by Gauss and its application. Quart. J. XXV. 227-236. Es handelt sich zunächst um einen directeren Beweis der von Hrn. Schering gegebenen Verallgemeinerung des Gauss'schen Kriteriums (vgl. Berl. Ber. 1876. 330-341, F. d. M. VIII. 93–95). Indessen erscheint der Nachweis, wie die negativen Reste in deren ganzer Reihe verteilt sind, speciell wenn man die grössten gemeinschaftlichen Teiler von Rest und Modul zum Princip einer Klassenteilung nimmt, als Hauptsache. Die Beziehungen zu der Eisenstein'schen Darstellung des Legendre'schen Zeichens, welche mit Hülfe von Einheitswurzeln ausgedrückt wird, führen schliesslich zu Reihen von Binomialcoefficienten mit abwechselndem Vorzeichen, welche gleich +1 sind, je nachdem die Zahl, deren Charakter gesucht wird, Rest oder Nichtrest ist. Die Reihe z. B. 1−n, + (n − 1), − (n −2), + ··· ist 0, 1 oder -1, je nachdem 3 Teiler, Rest oder Nichtrest von 2n+1 ist. Eine Verallgemeinerung führt zu der Formel: 1+ (n−1)z + (n − 2), z2 + (n − 3), ≈3 + ·· = 3 ... ED. LUCAS. Sur la loi de dratiques. St. Pétersbourg. Mélanges math. et astr. Tome VII. 65-66. Ein neuer, sehr einfacher Beweis des Reciprocitätsgesetzes, aus dem Gauss'schen Kriterium direct abgeleitet. Wi. L. GEGENBAUER. Note über das Legendre Jacobi'sche Symbol. Wien. Ber. C. 855-864. Der Verfasser macht geltend, dass man zum Beweise des Reciprocitätsgesetzes rascher gelangen könne, wenn man nicht eine, sondern zwei Darstellungen der durch das KroneckerSchering'sche Lemma definirten charakteristischen Zahl, welche hier mit (n, m) bezeichnet wird, zu Hülfe nimmt. Als derartige neue Darstellungen erscheinen hier: Es wird gezeigt, wie die neuen Formen, welche der Verfasser für das Legendre Jacobi'sche Symbol angegeben hat, sich zur schnellen Berechnung desselben besonders eignen. In den einfachsten Fällen genügt die Bestimmung einer einzigen Zahl; diese werden bis 17 aufgestellt. Ein neuer Algorithmus wird gegeben, welcher ausserordentlich rasch zum Ziele führt. Sn. J. A. GMEIner. Eine neue Darstellung des biquadrati schen Charakters. Wien. Ber. C. 1093-1100. Bezeichnet [A] die grösste in A enthaltene ganze Zahl, {A} die nächste Zahl von A, so lautet eine bekannte Formel in der Theorie der quadratischen Reste: wo p eine ungerade reelle Primzahl, k eine beliebige zu p teilerfremde reelle Zahl bedeutet. Hier wird eine analoge Formel für k4(-1) aufgestellt. Ist im Sinne von Gauss u+vi der absolut kleinste Rest von a +ßi für den Modul a + bi (p = a2+b2), und setzt man an, während aßi ein vollständiges Restsystem durchläuft (mod.abi). Dieses Restsystem zerfällt nun genau in Viertelrestsysteme, je nachdem μ und positiv und negativ sind. uk Р und erscheinen in den Grössen [4] und {A}, aus welchen vk p der dem biquadratischen Charakter entsprechende Exponent von -1 zusammengesetzt ist. Sn. J. A. GMEINER. Die Ergänzungssätze zum bikubischen Reciprocitätsgesetze. Wien. Ber. C. 1330-1361. In der Einleitung werden die auf das Gebiet der aus sechsten Einheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen bezüglichen Definitionen einschliesslich der allgemeinen Reciprocitätsgesetze gegeben. Speciell werden vier Haupttypen von primären Zahlen aufgestellt, deren drei von Wichtigkeit sind. Für diese werden der bikubische Charakter der Zahl 1+j (j primitive sechste Einheitswurzel), der bikubische Charakter der Zahl 2, sowie die kubischen Charaktere beider Zahlen bestimmt, und zwar zunächst einzeln für jeden Haupttypus, sodann aber allgemeine, für jede primäre reguläre zweigliedrige Zahl a+bj geltende Gleichungen. Sn. D. HILBERT und A. HURWITZ. Ueber die diophantischen Gleichungen vom Geschlecht Null. Acta Math. XIV. 217-224. Aus den Ergebnissen einer Arbeit des Herrn Nöther: „Rationale Ausführung der Operationen in der Theorie der algebraischen Functionen" (Math. Ann. XXIII. 311-358, F. d. M. XVI. 1884. 349-350) entnahmen die Verfasser die Möglichkeit, jede ganze ganzzahlige homogene Function vom nten Grade und vom Geschlechte Null auf eine eben solche Function (n-2)ten Grades zu reduciren. Die Fortsetzung dieses Verfahrens führt zu einer Gleichung dritten oder zweiten Grades. Beide Fälle werden genau discutirt, und angegeben, wann die vorgelegte diophantische Gleichung keine Lösung, eine endliche Anzahl von Lösungen oder unendlich viele Lösungen besitzt. Die singulären Lösungen müssen stets durch eine besondere Discussion gefunden werden. Sn. F. THAARUP. De hele Tals Oplósning i Faktorer. I. Nyt Tidss. for Math. II A. 49-52. Untersuchungen darüber, wie man a"-11 (mod. n) dazu verwenden kann, um zu untersuchen, ob n eine Primzahl ist. V. ALEX. BERGer. En algebraisk generalisation af några aritmetiska satzer. Stockh. Öfv. XLVIII. 683-720. Nach allgemeinen Theoremen über Teilbarkeit und „Congruenz" ganzer, ganzzahliger Functionen bringt der Verfasser einige Sätze über Congruenzen der Form G1(x) = G2(x) (mod. G(x)), bedeutet (p eine ganze positive Zahl), und wendet nachher diese Sätze auf die Theorie der quadratischen Reste und Nichtreste, der Gauss'schen Reihen und der Legendre'schen Symbole an. Bdn. K. HENSEL. Zur Theorie der linearen Formen. J. für Math. CVII. 241-245. Die Arbeit enthält die vollständige Lösung der Aufgabe: Den m linearen homogenen Congruenzen: deren Coefficienten und deren Modul entweder ganze Zahlen oder ganze Functionen einer Variable sind, soll in der allgemeinsten Weise durch ganze Grössen u genügt werden. Die Lösung erfolgt, indem das vorgelegte System von Congruenzen durch ein anderes äquivalentes ersetzt wird, dessen Modul ein Teiler des Moduls P ist. Lsg. F. ROGEL. Zur Theorie der höheren Congruenzen. Es wird aus der polynomischen Reihe eine höhere Congruenz abgeleitet, welche den Fermat'schen Satz als besonderen Fall enthält. Sn. E. HUMBERT. Sur un théorème d'arithmétique. Darboux Bull. (2) XV. 51-52. Einfacher Beweis für den Satz, dass jede Primzahl von der Form 4n+3 Teiler von 2+ y2+1 ist. Sn. D. F. SELIWANOW. Ueber die Zerlegung der Zahlen in Factoren. Mosk. Math. Samml. XV. 789-800. |