Auch diese Gleichungen werden mittels derselben Relationen umgeformt. Im Abschnitt II behandelt der Verfasser Reihen mit ungeradem Exponenten und Zeichenfolge, sowie Reihen mit geradem Exponenten und Zeichenwechsel in ähnlicher Weise, wobei er von bekannten Formeln für und m-2 cos-cos 3g+cos 5g+(-1) cos(m-1) p - m+1 sin 2p sin4q+sin 6p...+(-1) 2 sin(m-1)g ausgeht. Wz. FR. ROGEL. Ueber den Zusammenhang der FacultätenCoefficienten mit den Bernoulli'schen und Euler'schen Zahlen. Hoppe Arch. (2) X. 318-332. Bedeutet C den kten, aus den Elementen 1, 2, 3, n-1 gebildeten Facultäten - Coefficienten, B,, B,, die Bernoulli'schen Zahlen, so ergiebt sich aus der bekannten Formel ... k k k-1 12 Wo n = und 2 a! (−2)3 ß! y! d! x! ... (2r)! ist, je nachdem k gerade oder ungerade ist, und für a, ß alle möglichen, für y, d, ... alle möglichen entsprechenden ganzen Zahlen zu setzen sind. Eine andere Darstellung von C Zahlen ist Ck = k! n! ("− 1) ≤ durch die Bernoulli'schen wo r, s und e, a den Bedingungen r+s=n, g2r und gerade g+ o = k, zu genügen haben. Beide Formeln werden specialisirt. Bezeichnen E., E, die Euler'schen Zahlen, so ist für ... für r = 4v+1, 4v+2, 4v+3 ergeben sich ähnliche Relationen. Wz. W. J. C. MILLER, FR. ROGEL. Solution of question 7099. Ed. Times LIV. 92-93. Die ursprünglich von Hrn. Miller gestellte und schon früher von mehreren Mathematikern gelöste Aufgabe (vgl. F. d. M. XV. 1883. 199) verlangte die Summation der Reihe und Herleitung eines Ausdrucks für aus der Summen formel. Hr. Rogel verallgemeinert die Aufgabe durch Einführung der Bernoulli'schen Function (0, 2n), gewinnt dadurch allgemeinere Reihen und mit Hülfe derselben die Formeln: = 2n (2n)!√2 (−1)"-1[22 (}, 2n) − q(‡, 2n)] + (22n −1)B, O. SONAT. Summirung nter Potenzen ganzer natürlicher Zahlen. Pr. Brzezavy. 1890. 3-18. (Polnisch.) ALEX. BERGER. Om en användning af de Bernoulliska funktionerna vid några serientvecklingar. Stockh. Öfv. XLVIII. 523-540. Wenn eine Function g(h) für alle ganzen positiven h und k die Bedingung g(h)g(k) = g(hk) erfüllt und g(1) = 1 ist, so gilt für eine beliebige Function f(x) die Formel für alle x, welche absolute Convergenz geben (ε = 0, +1, −1, je nachdem h gleiche Factoren >1 enthält, oder eine gerade resp. ungerade Anzahl durchaus verschiedener Primfactoren > 1 hat; &, 1). Nachdem der Verf. dies bewiesen und einige Mitteilungen über Bernoulli'sche Functionen gemacht hat, werden diese Functionen benutzt, um in speciellen Fällen, z. B. für = die obige Doppelreihe auf eine einfache Reihe zu reduciren. Bdn. J. W. L. GLAISHER. Note on the sums of even powers of even and uneven numbers. Mess. (2) XX. 172-176. Hr. Glaisher macht auf den Umstand aufmerksam, dass die beiden Summen: in deren erster k eine gerade Zahl bedeutet, während es in der zweiten ungerade ist, denselben Summenausdruck haben: 1 2 (2r+1) {k2r+1 + (2r + 1) k2r + (2r +1) 23B, k2r–1 — 1 2 4 Dem Beweise dieses Satzes folgen Bemerkungen über den Unterschied der ungeraden Potenzen sowie über gerade Potenzen der Glieder arithmetischer Progressionen ganzer Zahlen mit den Differenzen 3, 4, .... Lp. H. W. RICHMOND. Note on the sum of functions of quantities which are in arithmetical progression. Mess. (2) XXI. 29-34. Verallgemeinerung des von Hrn. Glaisher (vergl. das vorangehende Referat) gefundenen Satzes: „Wenn als eine Function von n ausgedrückt wird, so ist die Summe der Reihe ... ❤(r)+q(r+q) + ø (r + 2q) + ··· + q (r+n) dieselbe Function von n, vermehrt um eine numerische Constante". Nach dem Beweise dieses Satzes wird jene Constante in mehreren Fällen bestimmt. J. W. L. GLAISHER. Lp. On the sums of the inverse powers 1 1 1 1 (2) Sn = 1+ + + + + + 3n 4n 5n 6n 1 2n worin B die nte Bernoulli'sche Zahl bezeichnet, werden die Werte von log Sen bis auf 24 Stellen berechnet für n = 1, 2, 3, 11; sodann wird der Wert von S2n für n = 12, 13, ... log Sen für n = 12, 13, 2n 40 bis auf 24 Stellen berechnet. Zum Vergleiche wurde die angenäherte Formel log Sn-log S2n-log S3n-log S5n+log Son-log Sin +log Son-log S11n werden sodann die Werte von En für n = 2, 4, 6, 80 gleichfalls bis auf 24 Stellen berechnet. Zum Vergleiche wurde die Reihe (1) benutzt. Zur weiteren Verificirung wird von den Formeln Nach einigen historischen Bemerkungen über Euler's und Merrifield's Zahlen werden noch Ausdrücke für |