...

Constanten sind. Die weitere Untersuchung erstreckt sich auf die besonderen Fälle, wo der Modul der elliptischen Function den Wert 1 oder Null erhält, pu also in eine Exponential- oder trigonometrische Function übergeht. Zum Schluss wird gezeigt, dass die allgemeinere Gleichung

(k, +k', +"'+

...

Hr.

··· + k(1) = 0, t<n)

eine gleiche Behandlung wie (1) gestattet.

E. A. STENBERG. Ueber die allgemeine Form der eindeutigen Integrale der linearen homogenen Differentialgleichungen mit doppeltperiodischen Coefficienten.

Acta Math. XV. 259-278.

Herr Floquet hat in seinen Untersuchungen über die im Titel bezeichneten Integrale für die einzelnen Gruppen, in die sie zerfallen, eine besondere Form aufgestellt (Ann. de l'Éc. Norm. (3) I, F. d. M. XVI. 1884. 279). Diese sucht der Verfasser durch eine einfachere zu ersetzen, in der die Anzahl der doppeltperiodischen Functionen gleich der Anzahl m der die Gruppe bildenden Integrale ist, während sie bei der Form des Herrn Floquet mm+1)(m+2) beträgt. Sind y1, ..., Ym die Elemente der Gruppe, so lassen sie sich in folgender Gestalt darstellen: p(x), y2 = q(x)[A2,1 +4, (x)], Y2

Ym = q(x)[Am,1+ Am‚2¶1⁄2 (x) + ··· +Am,m-19m-1(x)+❤m(x)],

m,2 2

...

wo (x) eine doppeltperiodische Function zweiter Art, ferner P2 (x), m(x) doppeltperiodische Functionen erster Art bedeuten und A, ganze algebraische Functionen (u-v)ten Grades

von x und

σ

(x-x) sind, die sich eindeutig bestimmen lassen, falls gewisse Constanten, an Zahl m(m—1), gegeben sind.

Hr.

P. APPELL. Sur des équations différentielles linéaires. transformables en elles-mêmes par un changement de fonction et de variable. C. R. CXII. 34-37, Acta Math. XV.

281-315.

Der Verfasser bewirkt die Integration einer Klasse von linearen homogenen Differentialgleichungen, die u als Function von bestimmen und die Eigenschaft haben, durch die Substitutionen

v= up(3), t = 4(3)

(3) ist. Nach den l'Éc. Norm. (3) I

in sich selbst transformirt zu werden. (3) wird als gegeben angenommen und durch folgende Eigenschaften charakterisirt: 1)(z) ist eindeutig im Innern eines Gebiets R der - Ebene. 2) Setzt man 1 = 9(3), Bi+1 = g(3), so liegen alle Punkte z,, ..., p im Innern von R und convergiren gegen eine Grenze , die kein wesentlich singulärer Punkt von Untersuchungen des Herrn Königs (Ann. de Supplém., (3) II; F. d. M. XVI. 1884. 376, XVII. 1885. 370) ist ein Punkt, für den g(x) = z und │y'(x)|<1 ist. g'(x) wird verschieden von Null und die Coefficienten der Differentialgleichung holomorph oder meromorph im Grenzpunkte x angenommen. Mit y(x) ist (z) bestimmt. Ist nämlich die Differentialgleichung von der nten Ordnung und auf die Form gebracht,

n-1

2

in der der Coefficient von u(-1) verschwindet, so ist y() = y'(~) Es giebt dann wenigstens ein Integral F(3), welches die Relation

n-1
2

F(y(3)) = Ay'(3) 2 F(3)

(A eine Constante)

erfüllt. Die Lösung dieser Functionalgleichung gelingt mittels der durch Herrn Königs eingeführten Function B(z), welche durch

die Gleichung

B(g(x))

=

g'(x)B(z)

definirt ist, mit der Bestimmung, holomorph in x zu sein und für in der ersten Ordnung zu verschwinden. Es ist nämlich, abgesehen von einem constanten Factor:

wor die Ordnung des Verschwindens von F(3) für = xangiebt. Die Coefficienten der Differentialgleichungen lassen sich rational durch die Function B(3) und ihre Ableitungen ausdrücken. Hierbei zeigen sich die Differentialgleichungen im Punkte z = x regulär. Ist n = 2, also die Differentialgleichung von der Form

welche, da g'(x)|<1 ist, convergent und im Punkte a holomorph ist. Die allgemeinste Form für die Function f(x) ist

Da B(z) in x von der ersten Ordnung verschwindet, so ist offenbar die Gleichung (1) in regulär. Sind die Wurzeln der bezüglichen determinirenden Gleichung r, und r,, so stellen

B(3) [B' (3), B′1⁄2 (3) B′ (3) −1

zwei particuläre Integrale von (1) dar. Die Modification für den Fallr,r, ergiebt sich ohne Schwierigkeit. Durch Substitution. eines der Integrale in (1) für u erhält man für f,(z) eine zweite, in B und den Ableitungen von B rationale Darstellung

Die Coefficienten der Gleichung werden constant durch die Substitution

Wenn () identisch Null ist, dann wird y =

d constant) und B(z) von derselben Form. Dieser Fall führt auf Gleichungen, deren Integration bekannt ist. Schreibt man für ein beliebiges n die Gleichung in der Form

2

2

so bestehen für die Coefficienten Bedingungen der Art, dass P2 (9(z)), ..., P(()) lineare Functionen von P, (3), ..., Pn(3) sind, deren Coefficienten die Derivirten von (3) enthalten. Mit Hülfe dieser Relationen lassen sich die allgemeinsten Ausdrücke dieser Functionen bilden unter der Bedingung, dass sie meromorph in x sind. Hierbei ergiebt sich, dass P2(z) mit der oben bestimmten Function f(z) bis auf einen constanten Factor identisch ist. Die Integration lässt sich mit Hülfe der Function B() bewirken. Insbesondere gilt der Satz, dass die Substitution

2

die Gleichungen dieser Klasse in solche mit constanten Coefficienten zurück führt. Einige dieser Resultate lassen sich auf nicht lineare Gleichungen ausdehnen.

Hr.

G. VIVANTI. Sugl' integrali polidromi delle equazioni algebrico-differenziali del primo ordine. Annali di Mat.

(2) XIX. 29-38.

In der Abhandlung „Zur Theorie der mehrwertigen Functionen" (Schlömilch Z. XXXIV, F. d. M. XXI. 1889. 395) hat der Verf. die Functionen in zwei Familien eingeteilt. Diejenigen Functionen, deren Werte für einen beliebigen, aber bestimmten Wert der unabhängigen Variable durch einen in keinem Bereich dichte Punktmenge dargestellt werden, gehören zur ersten, alle übrigen zur zweiten Familie. Von den a. a. O. aufgestellten Sätzen wird hier eine Anwendung auf die Theorie der algebraischen Differentialgleichungen erster Ordnung gemacht und u. a. folgendes Resultat abgeleitet. Besteht eine solche Differential

gleichung zwischen y und z, und haben y als Function von z und als Function von y nur feste Verzweigungspunkte, so gehören diese Functionen, falls wenigstens einer der Verzweigungs

dy dz

punkte erster Art, d. h. für welche oder

jede der beiden Functionen kein Punkt der Unbestimmtheit ist, zur ersten Familie wenigstens für einen beliebigen Wert der willkürlichen Constante.

Hr.

DIETRICHKEIT. Ueber Invarianten der linearen Differentialgleichungen. Schlömilch Z. XXXVI. 311-315.

... Pn einer

Bildung von Functionen der Coefficienten Por linearen Differentialgleichung nter Ordnung in y, die bei einer Substitution der Form

wo F einer gewissen Bedingung genügt, invariant bleiben.

Hr.

W. HEYMANN. Bemerkung zur Transformation der Differentialgleichungen von Punkt- in Liniencoordinaten.

Schlömilch Z. XXXVI. 317-320.

In Schlömilch Z. XXXI (F. d. M. XVIII. 1886. 289) hat der Verfasser eine Berichtigung" veröffentlicht, wonach es scheinen könnte (und so hat es auch Ref. aufgefasst), als ob das in einer Note derselben Zeitschrift XXIV aufgestellte Integral der Gleichung

x + y —(xy' — y)m = 0

falsch wäre. Der Ausdruck ist jedoch nur vieldeutig und enthält, wie gezeigt wird, ausser der Lösung noch fremdartige Bestandteile. Die erwähnte Berichtigung sollte nur den Weg angeben, wie man direct auf die zulässige Lösung kommen und die fremdartigen von vorn herein vermeiden kann. Hr.