Form B durch eine Substitution (S) zu Grunde liegt, und dadurch die Gewinnung specieller Thetaformeln auf die rein arithmetische Aufgabe zurückgeführt, specielle Formenpaare A, B von der Beschaffenheit anzugeben, dass die Form A durch eine Substitution (S) in die Form B übergeht. Die in den folgenden Abschnitten des ersten Teils durchgeführten Untersuchungen können als Musterbeispiele für die derartige Gewinnung speciellerer Thetaformeln angesehen werden.

Zum zweiten Teile der Arbeit, welcher die Transformationstheorie der Thetafunctionen behandelt, sei das Folgende bemerkt. Die bisherigen Methoden zur Zusammensetzung einer Transformation aus einfachen konnten einerseits, da sie zur Ausführung dieser Zusammensetzung die Kenntnis der Zahlenwerte der 4p❜ Transformationszahlen voraussetzen, nicht zur Herstellung einer allgemeinen Transformations formel benutzt werden; sie erwiesen sich aber andererseits, von ganz speciellen Fällen abgesehen, auch dann, wenn die Transformationszahlen gegeben vorlagen, wegen der grossen Anzahl der auftretenden einfachen Transformationen als ungeeignet zur Gewinnung der Transformationsformel. Die Verf. erkannten, dass diese Uebelstände durch das Verlangen der Ganzzahligkeit der Transformationszahlen bedingt seien, und dass nur nach Aufhebung dieser Beschränkung ein wesentlicher Fortschritt in der Behandlung der Transformationstheorie gemacht werden könne. Nicht also der Wunsch, die Transformationstheorie durch Zulassung gebrochener Transformationszahlen willkürlich zu verallgemeinern, sondern die Ueberzeugung, dass nur durch diese Verallgemeinerung für die Lösung des Transformationsproblems neue Wege erschlossen werden könnten, bestimmte die Verf., den Begriff der Transformation durch Zulassung beliebiger rationaler Zahlen als Transformationszahlen zu erweitern.

Da eine beliebige nichtlineare Transformation nunmehr aus einer linearen und zwei ganz speciellen nichtlinearen Transformationen zusammengesetzt werden kann, so liegt der Schwerpunkt der von den Verf. geschaffenen Transformationstheorie in der linearen Transformation. Bezüglich dieser werden im 2., 3. 32

Fortschr. d. Math. XXIII. 1.

und 4. Abschnitte durch directe Umformung der Thetareibe drei Transformationsformeln (I), (II), (III) abgeleitet und die durch sie dargestellten linearen Transformationen als die drei „elementaren linearen Transformationen" eingeführt. Aus ihnen kann, wie im 5. Abschnitte gezeigt wird, jede lineare Transformation zusammengesetzt werden, und zwar übersteigt die Anzahl der bei der Zusammensetzung einer Transformation auftretenden elementaren Transformationen niemals die Zahl sechs. Durch Verbindung der diesen elementaren linearen Transformationen entsprechenden Thetaformeln wird sodann im 6. Abschnitte die Formel für die allgemeine lineare Transformation gewonnen. Es mussten zwar für die Durchführung der Untersuchungen des 5. und 6. Abschnitts bezüglich des Verhaltens der Transformationszahlen vier Fälle unterschieden und gesondert behandelt werden; doch gelang es schliesslich, die auf diese Weise erhaltenen vier verschiedenen Formeln in eine einzige Formel (L) pag. 118 zusammenzufassen. Im 7. Abschnitte wird dann endlich aus dieser Formel und jenen beiden Formeln, welche den oben erwähnten, bei der Zusammensetzung einer nichtlinearen Transformation auftretenden, zwei speciellen nichtlinearen Transformationen entsprechen, die allgemeinste Transformationsformel zusammengesetzt.

Man ersieht, dass durch die von den Verf. eingeführte Erweiterung des Transformationsbegriffs in der That eine von der bisherigen durchaus verschiedene Behandlung der Transformationstheorie ermöglicht wurde; aber nicht nur zu der von den Verf. durchgeführten Herstellung einer allgemeinen Transformationsformel, sondern auch zur Gewinnung specieller Transformationsformeln bietet die entwickelte Theorie die geeigneten Hülfsmittel.

Was den Umfang der Arbeit angeht, so war der Herausgeber bestrebt, nicht nur die Resultate der von Herrn Prym und ihm angestellten Untersuchungen vollständig mitzuteilen, sondern auch stets die Methoden, welche zu diesen Resultaten geführt haben, klar erkennen zu lassen; an Litteraturangaben finden sich in der Einleitung jene Abhandlungen zusammengestellt, denen die Verf. Anregung bei ihren Arbeiten verdankt haben. Kr.

E. HUEBNER.

Ueber die Umformung unendlicher Reihen und Producte mit Beziehung auf die Theorie der elliptischen Functionen. Pr. (No.10) Kneiphöf. Gymn. Königsberg i. Pr. 41 S. 4o.

Wenn man in einer n-fach unendlichen, absolut convergenten Reihe an Stelle der bisherigen Summationsbuchstaben m,, ..., Mn, die unabhängig von einander alle ganzzahligen Werte von -∞ bis annehmen, neue Summationsbuchstaben m', ..., m mit Hülfe einer linearen Substitution einführt, so erhebt sich die Frage, in welcher Weise über die neuen Grössen m' zu summiren ist. Der Verf. behandelt diese Frage in der vorliegenden Abhandlung und unterzieht insbesondere die Fälle n = 1, 2, 3 einer eingehenden Untersuchung. Es hätte erwähnt sein sollen, dass das Princip, die Summation nach den m' von einer ihr anhaftenden Beschränkung durch Einschiebung eines discontinuirlichen Factors mit den Werten 1 und O zu befreien, von Herrn Prym herrührt und schon im Jahre 1882 von ihm angewandt wurde (Acta Math. III. 199 und 216, F. d. M. XIV. 1882. 419). Inzwischen ist die Frage nach der Umformung einer mehrfach unendlichen Reihe durch Einführung neuer Summationsbuchstaben vermittelst einer linearen Substitution von Herrn Prym und dem Ref. in allgemeinster Weise behandelt worden. (Krazer und Prym, Neue Grundlagen einer Theorie der allgemeinen Thetafunctionen, Leipzig 1892, vergl. das vorangehende Referat).

Kr.

F. VON DALWIGK. Beiträge zur Theorie der Thetafunctionen von p Variablen. Nova Acta Leop.-Carol. Akad. LVII. 221-263; Diss. Marburg. 4o.

Die Abhandlung besteht aus zwei selbständigen Teilen. Im ersten Teile werden folgende auf Thetafunctionen beliebig vieler Variabeln bezügliche Fragen erörtert. § 1 und § 2 behandeln die Darstellung der allgemeinen Thetafunctionen nter Ordnung durch no specielle unter ihnen, wie sie in allgemeinster Form schon Herr Prym (Untersuchungen über die Riemann'sche Theta

formel etc. p. 28, Leipzig 1882, F. d. M. XIV. 1882. 419) mitgeteilt hat. § 3 beschäftigt sich mit dem Convergenzbeweise für die p-fach unendliche Thetareihe und giebt zwei Beweise an, von denen der erste, ebenso wie der Beweis von Riemann (Gesammelte Werke p. 452) und der von Herrn Thomae (Schlömilch Z. XXV. 43, vergl. F. d. M. XII. 1880. 364), die p-fach unendliche Thetareihe durch gruppenweise Zusammenfassung ihrer Glieder mit einer einzigen einfach unendlichen Reihe, der zweite, ebenso wie der Beweis von Rosenhain (Mém. s. 1. fonct. de deux variables etc. Mém. prés. XI. 388) und der von Herrn Prym und dem Ref. (Neue Grundl. e. T. d. allgem. Thetaf. p. 3. Leipzig 1892), dieselbe mit dem Producte von p einfach unendlichen Reihen vergleicht. § 4 enthält die bekannten Grundformeln für die Theta functionen. § 5 stellt, wesentlich nach den von Herrn C. Neumann in der zweiten Auflage seiner Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale (Leipzig 1884, F. d. M. XVI. 1884. 336) angegebenen Gesichtspunkten, die Lehre von dem Verschwinden der Thetafunction dar. § 6 endlich handelt von den Normalintegralen zweiter und dritter Gattung und ihrer Darstellung durch Thetafunctionen. Der zweite Teil beschäftigt sich mit dem Umkehrproblem im Falle p = 2.

B. IGEL.

Kr.

Ueber die Parameterdarstellung der Verhältnisse der Thetafunctionen zweier Veränderlichen.

Monatsh. f. Math. II. 157-176.

Herr Staude hat (Math. Ann. XXIV. 281, F. d. M. XVI. 1884. 431) die vierten Potenzen der aus den Nullwerten der 10 geraden Thetafunctionen gebildeten Quotienten rational durch die sechs Verzweigungswerte des zu Grunde liegenden hyperelliptischen Gebildes ausgedrückt; der Verf. stellt analoge Ausdrücke für die aus den Nullwerten der Derivirten der sechs ungeraden Thetafunctionen gebildeten Quotienten auf und giebt an, dass diese Ausdrücke die gleichen seien, ob man nach der ersten oder nach der zweiten Variable differentiirt.

12

Herr Bolza hat (Diss. Göttingen 1886, F. d. M. XVIII. 1886. 407) den Fall behandelt, dass für die Thetafunctionen zweier Veränderlichen der Parameter r,, den Wertbesitzt, in welchem Falle die zugehörigen Functionen mit den Parametern 41, 42, 4722 in Producte zweier einfach unendlichen Thetareihen zerfallen. Der Verf. beschäftigt sich mit den Relationen, welche dann zwischen den aus den Nullwerten der ursprünglichen Thetafunctionen gebildeten Ausdrücken p, q, r bestehen. Der Ref. kann die in der Einleitung ausgesprochene Ansicht über die Arbeit des Herrn Staude nicht teilen; auch war es ihm nicht möglich, sich von der Richtigkeit der in den beiden Teilen der Arbeit mitgeteilten Resultate zu überzeugen.

Kr.

J. THOMAE. Ueber Thetafunctionen, deren Argumente einem System von Drittelperioden gleich sind.

milch Z. XXXVI. 41-44.

Schlö

Soll eine Theta function mehrerer Veränderlichen verschwinden, wenn für die Argumente ein System von Drittelperioden gesetzt wird, so muss zwischen den Moduln der Theta function eine Beziehung statthaben. Diese Beziehung wird von dem Verf. in der vorliegenden Note für den Fall der Thetafunctionen zweier Veränderlichen aufgestellt. Kr.

H. SIEVERT. Ueber Thetafunctionen, deren Charakteristiken aus Fünfteln ganzer Zahlen bestehen. Pr. Neues Gymn. Nürnberg. 31 S. 8°.

Der Referent hat (Math. Ann. XXII. 416, F. d. M. XIV. 1882. 419) die Beziehungen zwischen jenen Thetafunctionen einer Veränderlichen untersucht, deren Charakteristiken aus Dritteln ganzer Zahlen gebildet sind. Die dort angewandten Methoden sind von dem Verf. in der vorliegenden Abhandlung auf den Fall der Thetafunctionen einer Veränderlichen, deren Charakteristiken aus Fünfteln ganzer Zahlen bestehen, übertragen worden. Die mit ihrer Hülfe erhaltenen Resultate können