die bereits von diesem Autor behandelten confocalen Ellipsenund Hyperbelsysteme, sowie das orthogonale Kreissystem erhält. Hierauf teilt er eine von Meyer in der Göttinger Dissertation: „Ueber die von geraden Linien und von Kegelschnitten gebildeten Scharen von Isothermen, sowie über einige von speciellen Curven dritter Ordnung gebildeten Scharen von Isothermen" (1879) gegebene Methode der analytischen Behandlung des Problems in neuer Ableitung mit und veranschaulicht sie an zwei Beispielen.

Aus der entwickelten Theorie ergiebt sich dann als wichtigste Folgerung der Satz: „Wenn eine geschlossene Kontur S gegeben ist, so lässt sich immer eine consecutive Kontur S' so finden, und zwar nur auf eine Weise, dass die eingeschlossene, einfach zusammenhängende Fläche F sich durch die weiteren Curven S", S"", ... in einen innerhalb gelegenen Punkt zusammenziehen lässt, von welchem auslaufend die Orthogonaltrajectorien T mit den Curven S die Fläche in lauter unendlich kleine Quadrate einteilen." Dieser Satz ist nun gleichbedeutend mit dem Riemann'schen Satze: „Es ist immer möglich, und zwar nur auf eine Weise, eine gegebene, einfach zusammenhängende Fläche F so auf einen Kreis abzubilden, dass ein innerhalb gegebener Punkt des Flächenstückes F den Konturen des Kreises und ein gegebener Randpunkt von F einem bestimmten Punkte der Kreisperipherie entspricht.“

Einige Beispiele werden vollständig durchgerechnet, und zum Schlusse wird noch der Zusammenhang dieser Theorie und speciel des angeführten Satzes von Riemann mit dem bekannten Cauchy'schen Theorem dargelegt, welches lautet: „Wenn eine Function f() auf einem einfach zusammenhängenden ebenen Flächenstück holomorph ist, und irgend einen Punkt innerhalb desselben bedeutet, dann ist:

zzi / f(3) dt. 4

Σπί

-

t

Bm.

A. CAYLEY.

On some problems of orthomorphosis.

J. für Math. CVII. 262-277.

Der erste Teil der Abhandlung enthält Untersuchungen über die conforme Abbildung eines Rechteckes auf einen Kreis, vorausgesetzt, dass die beiden Seiten einander gleich, oder die eine halb so gross wie die andere ist.

Der zweite Teil betrifft die Frage, wann bei einer conformen Abbildung der z-Ebene auf die z,-Ebene dem Umfange des Kreises, welcher mit dem Radius 1 um den Punkt ≈ = 0 beschrieben ist, wieder der Umfang eines solchen Kreises in der -Ebene entspricht. Es wird gezeigt, dass die Gleichung:

eine Abbildung der verlangten Art definirt. Hierin ist (3) eine willkürliche Function; der Strich bedeutet, dass der conjugirte Wert zu nehmen ist, und m ist eine ganze Zahl. Da nun eine Gleichung, welche diese Kreise umkehrbar eindeutig auf einander abbildet, höchstens drei willkürliche Constanten enthalten kann, so folgt, dass diese Lösungen im allgemeinen keine (1, 1)-Correspondenz liefern. Um zu erkennen, was sich ereignet, untersucht Herr Cayley den besonderen Fall

%(3-2) 71 = 1-23

und findet, dass dem Kreise in der z,-Ebene zwei Kreise in der -Ebene entsprechen.

St.

G. PICK. Ueber die conforme Abbildung einer Halbebene auf ein unendlich benachbartes KreisbogenPolygon. Wien. Ber. C. 1387-1395.

Die Beziehungen zwischen der Gestalt eines Kreisbogenpolygons und den Constanten der Differentialgleichung dritter bezw. zweiter Ordnung, welche die Abbildung desselben auf die Halbebene vermitteln, sind nur zu einem kleinen Teile bekannt. Ihre vollständige Ermittelung scheint dem Verfasser mit erheblichen Schwierigkeiten verknüpft. Deshalb hat er die Untersuchung auf solche Polygone beschränkt,

welche der Halbebene unendlich benachbart sind, und zwar vorzugsweise unter der speciellen Festsetzung, dass alle Kreisbogen einen gemeinschaftlichen Orthogonalkreis besitzen. Er vermutet, dass man auf diesem Wege zu einer allgemeinen Lösung des Problems wird gelangen können. A.

G. CASSEL. Sur un problème de représentation conforme. Acta Math. XV. 33-44.

Das Problem der conformen Abbildung eines ebenen Flächenstückes in das Innere eines Kreises ist bisher nur behandelt worden für den Fall, dass das Flächenstück durch eine endliche Zahl regulärer Bogen von analytischen Curven begrenzt ist. Der Verfasser hat dagegen, in Anknüpfung an ein von Herrn Weber gelegentlich behandeltes Abbildungsproblem (Gött. Nachr. 1886, F. d. M. XVIII. 1886. 360), bei welchem als Begrenzung der Ebene eine endliche Anzahl von Kreisen angenommen war, deren Flächen von einander getrennt liegen, und deren Mittelpunkte auf einer Geraden (der reellen Axe) liegen, das Problem behandelt, bei welchem die Zahl dieser Kreise unendlich gross ist, und ist dabei zu interessanten unendlichen Producten gelangt, welche mit hyperelliptischen Functionen zusammenhängen.

A.

G. CASSEL. Om den konforma afbildningen af ett plan på ett prisma. Stockh. Vetensk. Bihang. XVI. Abt. I. No. 3. 11 S. Es wird gezeigt, dass die Relation

bei geeigneter Wahl der Constanten die conforme Abbildung einer Ebene auf ein gegebenes Prisma, dessen Durchschnitt ein reguläres n-Eck ist, vermittelt. Im Anschluss hieran behandelt. der Verf. auch die conforme Abbildung einer Ebene auf die Oberfläche eines aus einem regelmässigen Prisma und zwei regelmässigen Pyramiden zusammengesetzten Körpers. Hierauf

folgt die Bemerkung, dass, obgleich ein Cylinder als ein Prisma mit unendlich vielen Seitenflächen betrachtet werden kann, die conforme Abbildung einer Ebene auf einen Cylinder nicht möglich ist. Bdn.

E. R. NEOVIUS. Ueber einige durch rationale Functionen vermittelte conforme Abbildungen. Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Helsingfors. XVII. 1-14.

Durch Untersuchungen über Minimalflächen veranlasst, betrachtet der Verf. durch rationale Functionen vermittelte conforme Abbildungen auf eine einzige Halbebene von einigen, aus resp. 3, 4, 5 oder 6 in gegebener Weise zusammenhängenden Halbebenen gebildeten Riemann'schen Flächen. Bdn.

K. A. ANDREJEW. Homocyklische Abbildung der Kugel auf die Ebene. Charkow Ges. (2) III. 33-41. (Russisch.)

Herr Andrejew weist in dieser Abhandlung darauf hin, dass der Satz, den die Herren Markow (F. d. M. XX. 1888. 870), Korkine (Arbeiten d. VIII. Versammlung russ. Naturforscher und Aerzte in St. Petersburg 1890. Abt. I. 6-8), der ihn Zolotarew's Aufgabe nennt, und Mlodzieiowski (Arbeiten d. Phys. Section d. Moskauer Gesellsch. für Naturk. B. III, H. 1, 1890) betrachtet haben: „Jede homocyklische Abbildung der Kugel auf die Ebene ist eine stereographische Projection", bereits Möbius bekannt war (siehe dessen Theorie der Kreisverwandtschaft", Werke B. II). Deshalb kann jetzt nicht der Satz selbst, wohl aber können die Eigentümlichkeiten der Beweise desselben die Aufmerksamkeit der Forscher auf sich lenken. Herr Andrejew giebt deshalb einen neuen Beweis von rein geometrischem Charakter, der darum seiner Meinung nach der Natur der Frage mehr entspricht.

Si.

E. HOLLAENDER. Ueber äquivalente Abbildung. Diss.

Halle a. S.

E. HOLLAENDER.

Ueber flächentreue Abbildung. Progr.

(No. 447) Mühlheim a. d. Ruhr. 35 S. 4o.

Sind zwei Flächen so auf einander bezogen, dass entsprechende Stücke flächengleich sind, so heisst die Abbildung der einen Fläche auf die andere eine „äquivalente". Während die conforme Abbildung vielfach untersucht worden ist, hat die Litteratur der äquivalenten Abbildung einen verhältnismässig geringen Umfang. Der Verfasser erwähnt in der Einleitung Arbeiten von Schellhammer, Tissot und Korkine, die sich auf die äquivalente Abbildung beziehen. Nach Aufstellung der Differentialgleichung, von welcher die äquivalente Abbildung abhängt, behandelt der Verfasser zunächst die Frage nach den congruenten Abbildungen, d. h. nach denjenigen äquivalenten Abbildungen, die zugleich conform sind. Das Resultat der hierauf bezüglichen Untersuchung lautet dahin, dass zwei congruente Flächen auf einander abwickelbar sind. Der Verfasser betrachtet sodann die äquivalente Abbildung zweier Ebenen auf einander. Nachdem er die diesem Falle entsprechende Differentialgleichung

ἓξ θη αξ θη

дх ду ду дх

allgemein integrirt hat, knüpft er die weitere Untersuchung an zwei bemerkenswerte, von Tissot herrührende Sätze. Nach dem einen dieser Sätze giebt es in jeder äquivalenten Abbildung ein System von zwei Curvenscharen, deren Bilder gleiche Bogenlängen haben (automekoische Curven). Der Verfasser bestimmt nun diejenigen äquivalenten Abbildungen einer Ebene auf eine andere, bei welchen eine Schar paralleler Geraden der einen Ebene automekoische Curven sind. Nach dem anderen Tissot'schen Satze giebt es in jeder äquivalenten Abbildung ein System zweier orthogonalen Curvenscharen, deren Bilder ein eben solches System bilden. Sind die beiden Flächen Ebenen, und wird jenes System in der einen Ebene von zwei Scharen von Geraden gebildet, so heisst die Abbildung „rectangulär". Der Verfasser bestimmt die allgemeinste derartige rectanguläre Abbildung. Die Resultate werden durch mannigfaltige Beispiele, die durch Specialisirung der in den allgemeinen Formeln auftretenden willkür