ARITMETICA. (Observaciones sobre la enseñanza.) La inmensa importancia de la Aritmética, ora se la considere como uno de los mas seguros medios de desarrollar las facultades intelectuales de los niños, en especial la atencion y el raciocinio, ora se tome en cuenta únicamente su utilidad material para todas las clases de la sociedad, exige de los maestros un estudio profundo de sus principios y aplicaciones, y un esmero y un tino especialísimos en su enseñanza. He aquí por qué nos permitiremos añadir á las luminosas doctrinas que anteceden, algunas observaciones hijas de nuestra experiencia profesional.

Todos los ramos de instruccion, y la Aritmética principalmente, deben trasmitirse á los niños por grados cuya distancia sea muy poco perceptible. Cada materia debe considerarse como una grande escala, y tanto mas pronta y cómodamente se subirá cuanto menos elevacion tengan sus peldaños: y si el que ha de ascender por ella es un niño de corta edad, sube de punto la necesidad de rebajar la altura de sus pasos.-Proponerles, pues, problemas dificiles antes que otros fáciles, ó problemas de cantidades grandes antes de que hayan resuelto bien otros de igual clase, pero de cantidades pequeñas, es quebrantar este precepto pedagógico; es dificultarles el camino.

No les obliguemos á ejecutar cálculos con cantidades de muchisimas cifras ó innecesarios en las transacciones ordinarias de la vida, cuya magnitud les aturde y les fatiga, ó cuya utilidad no comprenden.-El tiempo es oro, y no debe malgastarse en ejercicios de puro lujo, cuando tantos otros de frecuente aplicacion práctica y de igual ó superior eficacia pedagógica lo reclaman.—¿A qué, pues, esas operaciones que se ven en muchas escuelas con cantidades interminables, ó con quebrados de denominaciones nunca usadas en el comercio, ó con especies imaginarias ó ya anticuadas, ó con condiciones que probablemente no se presentarán jamás á nuestros discípulos?

Ocurre no pocas veces que los niños de una seccion resuelven todos bien en el encerado y en presencia de un instructor ciertos problemas que, si se les proponen á solas y en el papel, no lo hacen, sea que la presencia de un superior les obliga á fijar mas su atencion, sea que no comprenden los términos cuando se les dan escritos tan bien como cuando los oyen de viva voz, sea en fin por algun auxilio que mas o menos claramente les proporciona ó el mismo instructor ó un compañero mas adelantado. Por esto conviene que alternen los ejercicios simultáncos en el encerado con los individuales

en los cuadernos; y solo cuando en estos y por sí solos ejecuten bien una operacion puede pasárseles á otra.

Se observa tambien que algunos alumnos que conocen y practican en la escuela todas las reglas de la Aritmética, se encuentran, embarazados al proponerles en sus casas las cuestiones mas sencillas y mas usuales. Esto procede ó de que en la escuela no han visto las aplicaciones comunes de que cada regla es susceptible, ó de que se les han presentado siempre en una forma, muy técnica tal vez, pero muy diferente de la en que se la ofrecen en sus casas.-Acostumbrado, por ejemplo, un niño á reducir arrobas á libras, si se le pregunta cuantas libras pesa un bulto de 30 arrobas, se ofusca tal vez confundiendo, como en esta edad sucede con frecuencia, la forma con la esencia, y juzga que la cuestion es desconocida para él. Nosotros hemos propuesto á un niño perfectamente instruido en todas las reglas de enteros, quebrados y denominados, la siguiente cuestion: Un sugeto compró 25 fanegas de trigo á 23 rs. y las vendió á 26: ¿cuánto ganó en todo? y no conoció absolutamente qué operaciones debia ejecutar, ni se aproximó siquiera.-Aun mas: á un niño que examinamos al ingresar en nuestro establecimiento, y que por el cuaderno que traia del en que anteriormente habia estado, se veia que ejecutaba todas las operaciones de los números fraccionarios, le dijimos: Un cosechero de vino vendió ayer 45 arrobas á 47 rs. ¿cuánto dinero debieron darle? y nos contestó: Yo no he visto nunca cuentas de esas: no habré llegado á ellas; no sé cómo se sacan.-El maestro evitará fácilmente estos escollos, trasladándose con la imaginacion á las casas de sus discípulos, y redactándose para su gobierno un programa minucioso de las materias que ha de explicar en cada leccion, y un largo catálogo de las aplicaciones usuales que pueden hacerse de cada regla, con cuanta variedad de fórmulas accidentales le sugiera su experiencia. El resultado es infalible.

Todas las teorías y subdivisiones que no sean indispesables para la comprension de una regla, deben suprimirse, aunque no sea mas que por el consumo de tiempo que ocasiona; y entre dos procedimientos, el uno complicado pero seguido por los matemáticos mas profundos, el otro sencillo y exacto, aunque vulgar ó menos adoptado en los autores, debe preferirse este, al menos en las escuelas primarias. La teoría de las razones y proporciones, por ejemplo, no es necesaria para la inteligencia de la regla de tres y de sus preciosas obligaciones, como tampoco lo es la division de esta regla en directa é inversa, puesto que, merced á la propiedad que poseen

las proporciones de variar de ocho modos la colocacion de sus términos sin alterarse la proporcion, es sabido que sea directa ó sea inversa, se resuelve facilisimamente por la siguiente fórmula, que los niños aprenden y retienen muy bien: Colóquese por tercer término el que es de la misma especie que el que se busca: si el resultado debe ser mayor que el tercer término, se pone por segundo el mayor de los restantes, y si debe ser menor, el menor: el término que quede, pongase en el primer lugar: multipliquese el segundo término por el tercero, y dividase el producto por el primero: el cociente es el resultado ó cuarto término que se busca.

El cálculo por el sistema decimal es tan ventajoso, que asombra el considerar el menosprecio con que se le ha mirado hasta ahora entre nosotros, sin embargo de ser conocido por nuestros matemáticos desde el siglo anterior. Unos maestros lo ignoraban absolutamente, y otros le consideraban como un adorno de purísimo lujo, y lo enseñaban sin hacer de él la mas mínima aplicacion. La adopcion del nuevo sistema legal de pesas, medidas y monedas, obliga á todos ya á mirar los decimales con la predileccion que se merecen; y en nuestro concepto, ínterin llega el anhelado dia en que por el completo establecimiento del sistema métrico y monetario podamos prescindir totalmente de la fatigosa enseñanza de los quebrados y denominados, conviene acostumbrar á los niños á resolver por decimales todas ó casi todas las cuestiones mas usuales de quebrados y denominados, para afirmarles mas y mas en su conocimiento, familiarizarlos en las reducciones, persuadirlos de sus ventajas y hacérselos inolvidables.— Por lo menos en la moneda, los céntimos deben desde luego reemplazar á los maravedises en todos los casos sin excepcion; y puesto que cada tres céntimos equivalen muy próximamente á un maravedí, muy pronto se imponen en la conversion recíproca de las dos especies, para satisfacer las dudas de los que desconocen el valor de los céntimos. Luis Codina.

ARITMÉTICA. (Problemas). De todos los ramos que abraza la ins truccion primaria, la Aritmética es el que mas se presta á las aplicaciones prácticas que tienen por objeto los usos y necesidades comunes de la vida. Desde los primeros pasos en la enseñanza de los números y en el cálculo oral, pueden dirigirse los ejercicios de manera que sirvan, por una parte, para iniciar á los niños en el conocimiento de los objetos y los hechos que forman el punto de partida de los estudios sucesivos; y, por otra, para darles nociones exactas

sobre el valor absoluto y relativo de las cosas é intereses de que tendrán que tratar luego en las diferentes profesiones á que se dediquen. Despues, à medida que esta enseñanza se elevá y ensancha, se agranda tambien el círculo de las aplicaciones, de manera que puede comprender sucesivamente las cuestiones mas interesantes y mas complicadas de la economía doméstica, rural é industrial. Puede tambien extenderse á la higiene, á la moral práctica, haciendo ver, por la demostracion rigorosa de las cifras, las funestas consecuencias de las pasiones, de los vicios, de los malos hábitos, de la ignorancia, de la imprudencia, de la incuria, y su influjo en la abun dancia y la estrechez, en el bienestar ó la miseria de un individuo, de una familia y hasta de todo un pais.

Enseñada la Aritmética de esta manera y por medio de una série de problemas elegidos con acierto, puede ser tambien para los pueblos una verdadera escuela de lógica popular y de buen sentido práctico aplicado á todas las necesidades, á todos los deberes, á todas las relaciones de la existencia. Haciendo ver las relaciones mas ó menos aparentes, mas o menos lejanas que enlazan ciertos efectos con sus causas primeras, sirve, por una parte, para restablecer y propagar verdades y prácticas útiles, pero desconocidas ú olvidadas; y, por otra, para combatir con la evidencia de los hechos y de las cifras, los errores y preocupaciones populares mas nocivas y generalizadas.

De aqui se infiere la importancia de la eleccion de problemas en la enseñanza de la Aritmética y el partido que puede sacar un maéstro de este medio de educacion intelectual y moral á la vez.

Puede seguirse en esta parte de la enseñanza dos caminos 'distintos, conforme al objeto que el maestro se propone. En la mayor parte de los libros elementales de Aritmética, las operaciones que sirven para explicar los principios no presentan sino cifras abstrac tas. En estos libros no se propone el autor otro objeto que la teoría de la ciencia que enseña y la exposicion de las leyes y las reglas que la constituyen. Separa pues con cuidado todo lo que pudiera distraer la atencion, ó aunque solo fuera dividirla entre dos objetos.

Los problemas se eligen y preparan con idéntico fin, es decir: el estudio de la Aritmética. Se cuida poco de que la verdad ó el hecho, que debe desprenderse de los datos del problema, ofrezca una leccion útil, conduzca á un resultado práctico, ni aun que entre en el dominio de las cosas reales. A lo que se aspira, con preferen→ cia á todo, es á ejercitar á los discípulos en las operaciones técnicas,

y

á descartar de los datos de los problemas todas las circunstancias y todos los hechos que no concurren directamente al objeto.

Tal es la marcha seguida por lo comun, y esta marcha, bien dirigida por un profesor entendido, es muy oportuna en la enseñanza secundaria en que generalmente se adopta.

Como se supone que los discípulos, al pasar á la segunda enseñanza, han experimentado ya en la escuela el primer desarrollo intelectual, que dispone y prepara el espíritu para lecciones mas elevadas; como estos discípulos deben seguir pronto en los diferentes ramos de los estudios clásicos cursos especiales, en los cuales se aplicará la Aritmética á la materia de estos cursos de estudios, se concibe bien que se ocupe el profesor mas particularmente en la teoría de la ciencia y en la demostracion de los principios, sin distraer la atencion de los discípulos con aplicaciones que, aunque útiles, tendrán lugar despues. En la segunda enseñanza, la Aritmética es como un instrumento, cuyo mecanismo, propiedades y leyes se demuestran préviamente á los que deben usarlo, à fin de que, cuando llegue el caso, puedan emplearlo con cabal conocimiento en todos los usos á que se aplica. Y este caso llega en la misma enseñanza secundaria, y sobre todo en la especial, à medida que el discípulo recorre los diversos ramos de instruccion que abraza el programa.

Olvidase demasiado por desgracia que no sucede lo mismo en la enseñanza primaria, y asi es que, por querer explicar sin discernimiento en las escuelas elementales los métodos, los procedimientos y los libros de las secundarias, no se obtienen los resultados que debieran producir.

Los alumnos de las escuelas primarias son de corta edad y, por lo comun, no han recibido en el seno de la familia aquella primera cultura intelectual que despierta y pone en juego las facultades y prepara á la enseñanza teórica y regular. Emplear cifras abstractas, definiciones técnicas, demostraciones complicadas y discursos, tratándose de niños sin cultura, es querer que estos no entiendan, es querer fatigarlos, disgustarlos de la instruccion, y cuando mas sobrecargar la memoria con palabras estériles que nada dicen al juicio ni á la inteligencia.

Además, por lo general, estos alumnos no asisten bastante tiempo á las escuelas para completar el estudio de todos los ramos de enseñanza, y al salir se dedican al aprendizaje de alguna profesion ó al trabajo de los campos. Por lo mismo, no se les debe dar una instruccion puramente preparatoria, sino una instruccion inmediatamente