conocimiento exacto del mas y el menos, con total independencia de los objetos. Este es, pues, el órden que debe seguirse en la enseñanza, haciendo que el discípulo en un principio vea y toque, por decirlo así, las relaciones de los números.

Varios son los medios que pueden adoptarse al efecto. Pestalozzi recomienda que se dé principio haciendo contar las partes del cuerpo humano, como los dedos, las uñas, las articulaciones. Los niños, y hasta los adultos, recurren á los dedos de las manos, y los cuentan en muchas dificultades, У no hay cosa que les sea mas familiar, ni que esté mas al alcance de todos. En efecto, el pobre como el rico lleva siempre consigo estos sencillos elementos del cálculo, y puede hacer uso de ellos cuando le sea necesario. Piedras, cubos, prismas y otras figuras de madera y de diversas sustancias, nueces, manzanas, etc., pueden hacer igual oficio; y asi lo recomiendan Villiaume, Denzel padre y otros. Pestalozzi y Poehlman, proponen que despues se haga uso de líneas en el papel ó encerado; Kranke, de puntos comprendidos en triángulos, y á este tenor se recomiendan otros diversos procedimientos.

El abaco ó tablero contador tiene el mismo objeto, y es lo mas á propósito para instruir á vários niños á la vez. Los demas medios pueden emplearse con fruto en la educacion doméstica, y sirven mucho para alternar los ejercicios en la escuela..

En la enseñanza intuitiva ha de tenerse presente que, como se ha dicho antes, los niños, en un principio, asocian en la mente las ideas del número y de la cosa, y luego las separan para elevarse á la idea abstracta de la cantidad. Pero es preciso auxiliarles en este trabajo, variando con oportunidad los medios materiales de enseñanza, y haciendo alternar los ejercicios. Asi es como se les habitúa á fijar la atencion en la cantidad, distrayéndola de la cualidad o naturaleza de las cosas ó medios de intuicion.

Por eso conviene que despues que los niños hayan ejecutado algunas operaciones con el abaco, las repitan valiéndose de los de-, dos de la mano, de los cristales de la ventana, de los bancos ó mesas, etc.; y que ademas el maestro practique en la enseñanza los tres ejercicios siguientes:

4. Nombrar las bolas del abaco, señalándolas al propio tiempo con el puntero, diciendo, por ejemplo: esta bola y esta otra bola, son dos bolas, etc.

2.

Nombrar las bolas sin indicarlas, diciendo, por ejemplo: una bola y una bola, son dos bolas, etc.

Puede hacerse uso del abaco de dos maneras: 4. Considerando las cien bolas como unidades simples; 2.a considerando como unidades de diverso órden las bolas de distintos alambres; las del primero como unidades simples, las del segundo como decenas, las del tercero como centenas, etc.

Un mismo aparato puede destinarse á los dos usos. Conviene sin embargo valerse de dos tableros, que solo se diferencian entre sí en el color de las bolas. Las del abaco de unidades simples, ó conservan el mismo color de la madera, ó están pintadas, como aconsejan algunos, para llamar la atencion de los niños. En este último caso varian los colores de dos en dos bolas, ó, lo que es preferible, de alambre en alambre; de modo que la última de cada uno sobresale entre las otras por el color mas fuerte ó subido, aunque el mismo que las demas.

En el abaco de unidades de diverso órden, la última bola de cada alambre es de distinto color que las nueve anteriores, y del mismo que las del siguiente. Las nueve primeras bolas del alambre superior, están pintadas de igual modo y representan unidades; la décima bola completa la decena, pero es de distinto color, para que los niños comprendan desde luego, que no puede haber en cada alambre mas que nueve unidades del mismo órden, y pasen sin dificultad de la numeracion hablada á la numeracion escrita. Las nueve primeras bolas del segundo alambre representan decenas, y tienen el mismo color que la décima del primer alambre. La décima bola del segundo sirve para completar las diez decenas, y es de diferente color que las nueve anteriores. Las nueve primeras bolas del tercer alambre representan centenas; las del cuarto, unidades de millar, etc.; y siempre las nueve primeras bolas de cada alambre son de igual color que la décima del inmediato superior...

. Por este sistema se puede contar hasta 9 billones, 999 millones, 999 mil, 999 unidades; mas no debe hacerse uso del tablero dispuesto en esta forma, hasta que los niños estén familiarizados con el otro, que es mucho mas sencillo.

USOS DEL ABACO.-La naturaleza misma indica la marcha que debe seguirse en la enseñanza del cálculo. Cuando el niño comienza á hacer uso de los sentidos, distingue diversos objetos que se le presentan bajo la relacion de número, y empieza á formar idea de la unidad y de la cantidad. En un principio, la idea del número va unida á la del objeto, pero despues se hace distincion entre el número y la cosa, y se llega á la idea abstracta de la cantidad y al

conocimiento exacto del mas y el menos, con total independencia de los objetos. Este es, pues, el órden que debe seguirse en la enseñanza, haciendo que el discípulo en un principio vea y toque, por decirlo así, las relaciones de los números.

Varios son los medios que pueden adoptarse al efecto. Pestalozzi recomienda que se dé principio haciendo contar las partes del cuerpo humano, como los dedos, las uñas, las articulaciones. Los niños, y hasta los adultos, recurren á los dedos de las manos, y los cuentan en muchas dificultades, y no hay cosa que les sea mas familiar, ni que esté mas al alcance de todos. En efecto, el pobre como el rico lleva siempre consigo estos sencillos elementos del cálculo, y puede hacer uso de ellos cuando le sea necesario. Piedras, cubos, prismas y otras figuras de madera y de diversas sustancias, nueces, manzanas, etc., pueden hacer igual oficio; y asi lo recomiendan Villiaume, Denzel padre y otros. Pestalozzi y Poehlman, proponen que despues se haga uso de líneas en el papel ó encerado, Kranke, de puntos comprendidos en triángulos, y á este tenor se recomiendan otros diversos procedimientos.

El abaco ó tablero contador tiene el mismo objeto, y es lo mas á propósito para instruir á varios niños á la vez. Los demas medios pueden emplearse con fruto en la educacion doméstica, y sirven mucho para alternar los ejercicios en la escuela.

En la enseñanza intuitiva ha de tenerse presente que, como se ha dicho antes, los niños, en un principio, asocian en la mente las ideas del número y de la cosa, y luego las separan para elevarse á la idea abstracta de la cantidad. Pero es preciso auxiliarles en este trabajo, variando con oportunidad los medios materiales de enseñanza, y haciendo alternar los ejercicios. Asi es como se les habitúa á fijar la atencion en la cantidad, distrayéndola de la cualidad ó naturaleza de las cosas ó medios de intuicion.

Por eso conviene que despues que los niños hayan ejecutado algunas operaciones con el abaco, las repitan valiéndose de los de-. dos de la mano, de los cristales de la ventana, de los bancos ó mesas, etc.; y que ademas el maestro practique en la enseñanza los tres ejercicios siguientes:

4. Nombrar las bolas del abaco, señalándolas al propio tiempo con el puntero, diciendo, por ejemplo: esta bola y esta otra bola, son dos bolas, etc.

12.

Nombrar las bolas sin indicarlas, diciendo, por ejemplo: una bola y una bola, son dos bolas, etc.

veces una bola, son dos bolas; una bola y una bola, son las dos mitades de dos bolas (se explica lo que se entiende por mitad); separando dos bolas en dos partes, cada una de estas partes será und bola; cuatro bolas, son dos bolas y dos bolas; dos bolas y dos bolas, son las dos mitades de cuatro bolas; dividiendo cuatro bolas en dos partes iguales, cada una de estas partes constará de dos bolas. A

Las preguntas que corresponden á estos ejercicios, se deducen naturalmente de los mismos y de lo explicado antes.

Tal es el órden en la enseñanza del cálculo por medio del abaco de unidades simples. Para abreviar una explicacion árida y minuciosa de por sí, se han suprimido muchos ejemplos de ejercicios y preguntas que á los profesores les será fácil suplir. Basta para esto recordar los principios sentados, y el órden seguido en la enseñanza de la numeracion.

La explicacion empieza siempre por los ejercicios de intuicion con el abaco; se repite con otros objetos materiales, como los dedos de la mano etc., y por fin con números abstractos. El propio órden ha de seguirse en las preguntas, y á este fin no hay mas que añadir á las indicadas, las palabras bolas, niños, mesas, etc., y por último unidades.

El abaco cuyas bolas representan unidades de diverso órden segun los alambres, facilita la inteligencia de la numeracion. El uso de este aparato es tambien sencillo, aunque no tanto como el de unidades simples.

Cuando los niños cuentan sin dificultad las diez bolas del primer alambre, se les hace advertir que para contar mas de diez ó de una decena, se necesita añadir á las bolas de este alambre una ó mas del segundo, una por ejemplo, para el número once; pero que puede representarse este número de otra manera, una vez que se convenga el que cada bola del segundo alambre valga tanto como las diez del primero. Asi el número once podria representarse por una bola del segundo alambre y una del primero; el doce por una bola del segundo y dos del primero, etc. El veinte se representará, ó por una bola del segundo alambre y las diez del primero, ó lo que es mejor, por dos bolas del segundo alambre. Luego se indican los nú– meros de veinte á treinta por medio de dos bolas del segundo alambre, á las cuales se agrega sucesivamente una, dos, tres, etc. del primero. De un modo análogo se representan todos los números hasta ciento, y entonces se conviene en que una bola del tercer alambre equivalga á dież del segundo ó á ciento de las del primero,

y por medio de la combinación de las bolas de los tres primeros alambres se representan todos los números entre ciento y mil. Siguiendo igual procedimiento, se hace comprender que las bolas del cuarto alambre pueden representar decenas de millar, las del quinto centenas de millar, etc.

Luego repiten los niños esto mismo con otros objetos materiales, conviniendo, por ejemplo, que las manos una sobre otra representen una decena ó una bola del segundo alambre; y entre las manos y los dedos, haciendo otras convenciones análogas á la anterior, po÷ drian representarse todas las bolas del abaco. Esto sin embargo seria muy complicado en pasando del número ciento, y es mas conveniente servirse para ello del encerado ó tablero negro,

Colocado un aparato junto á otro, se señalan en el encerado por medio de trazos verticales ó unidades en una linea horizontal los números indicados en el abaco, cuidando de separar el último trazo de la derecha de los nueve restantes, en la forma siguiente:

La línea superior representa las unidades simples; la segunda linea las decenas; la tercera las centenas, etc.

De esta manera se practican muchos y variados ejercicios. El profesor enuncia un número, el primer niño de la seccion lo indica con las bolas del abaco, el segundo en el encerado por medio de trazos verticales, el tercero repite el número representado on los dos aparatos. Se ejecuta igual procedimiento con otros números, y combinando unos ejercicios con otros, se repiten de mil modos diferentes.

Despues de comprendida la numeracion se pasa á las cuatro operaciones de números enteros. Luego se hace observar á los niños que la representacion de los números por este medio es muy complicada y embarazosa; se les dice que hay otro mas fácil y sencillo, y pasan naturalmente al conocimiento de las cifras ó guarismos, ý