PRISMI ESADECAGONI ED ICOSITESSERAGONI IN CRISTALLOGRAFIA MEMORIA DEL SOCIO CORRISPONDENTE Prof. RUGGERO PANEBIANCO I prismi esadecagoni ed icositesseragoni sono a sezione rispettivamente di esadecagoni ed icositesseragoni cogli angoli alternativamente eguali. I poligoni aventi gli angoli alternativamente eguali, circoscritti ad un circolo, hanno i lati eguali, e noi li chiameremo poligoni semi regolari. La perpendicolare condotta al loro piano per il loro centro è asse di simmetria di grado n, essendo il poligono un 2 ngono. Gli esagoni, ottagoni e dodecagoni semi regolari sono ben noti in cristallografia. La genesi di tali poligoni è la seguente. Se si fa ruotare un ngono regolare attorno al suo asse nrio dell'angolo ove, in valore assoluto, f<1, l'intersezione del poligono primitivo e di quello ruotato, genera un poligono convesso, che in generale è un 2 ngono semi regolare. x Se chiamiamo e 3 le due specie di angoli al perimetro è facile vedere che Nel caso speciale che f=1:2, il poligono che nasce è un 2 ngono regolare. È facile vedere che si possono avere dei prismi esadecagoni ed icositesseragoni semi regolari le cui facce riferite agli assi del sistema rispettivamente dimetrico ed esagonale hanno simboli formati da numeri piccoli. È bensi vero che non può, in simili casi, parlarsi propriamente di prismi cristallografici, intesi, cioè, nel senso di forme cristallografiche, ma soltanto nel senso che le facce di essi sono facce possibili. Le facce alternate di tali prismi formano rispettivamente dei prismi ottagoni e dodecagoni regolari cristallografici, intesi sempre soltanto nel senso che le loro facce siano facce possibili. Sia h ko una faccia possibile parallela all'asse [0 0 1] del sistema dimetrico ed h, k, O un altra faccia anch'essa parallela al detto asse. Poniamo per brevità e chiarezza Le normali alle due facce formano evidentemente un angolo < 45 se gli indici sono positivi, per cui bisogna considerare le due facce hko eh, ko se si vuole che esse formino l'angolo di 45°. Eguagliando i coseni nell'equazione Come si scorge, ponendo per y od r un numero piccolo si ottiene od y numero piccolo, per cui le due facce r 10 x 10 sono facce cristallografiche come la y 10 assunta, e queste due facce formano con y 1 0 l'angolo dell'ottagono regolare. Tutte appartengono alle forme note (r 10) ed (y 10) che sono due prismi ottagoni del sistema dimetrico, però eguali e rotati l'uno per rispetto all'altro dell'angolo La combinazione dimemetrica (y 10) (x 10), ove x ed y sono legati dall'equazione di sopra, forma adunque un prisma esadecagono semi regolare. per esempio: (210) (310); (320) (510); (410) (530) ecc. Analogamente essendo per il sistema esagonale, posto Λ h k ñ o ^k h ñ 0 = h ̧ k ̧ Ã ̧ 0^x ̧ k ̧ Ñ ́ ̧ 0 essendo hk ed h, k, y, si ha: x = = 1 1 x2 + 4x + 1 x2 + x + 1 Le due facce adiacenti alla y 10 sono la x, 10 e x,, 10 ed è facile verificare che per cui y 10 e r,, 10 formano l'angolo del dodecagono regolare. Analogamente quindi a quanto si è detto per i prismi dimetrici, la combinazione esagonale (h kλ 0) (h + 2 k h-k -λ-h forma un prisma icositesseragono semi regolare. 0) I due detti prismi (y 10) ed (r 10) sono eguali prismi dodecagoni del sistema esagonale rotati l'uno per rispetto all'altro attorno all'asse comune dell'angolo |