Bildungen sind annähernd homotax"; wir sehen uns jedes wissenschaftlich haltbaren Mittels beraubt, in den Alpen den Beginn der Keuperperiode der germanischen Trias-See zu bestimmen", da eine Communication mit dem äußeren Meere nicht wiederhergestellt worden ist. In einer späteren brieflichen Mittheilung im „Neuen Jahrbuch für Min. etc." bemerkt er, daß man nach dem Auftreten von Ceratiten außeralpin bis zum Grenzdolomit, alpin bis zu den Buchensteiner Schichten aus diesem Grunde diese beiden Horizonte gleichzustellen hätte, und daß man nicht schließen könnte, daß die Buchensteiner-Schichten bloß wegen des Auftretens von Ceratiten in den Muschelkalk zu stellen wären.

Nach der vorher erörterten vertikalen Verbreitung von Ceratites nodosus in der außeralpinen Trias und durch den Nachweis desselben im Buchensteiner Niveau dürfte eine engere Parallelisierung aber nunmehr doch möglich, jedenfalls beweiskräftiger als die von Mojsisovics lediglich aus der Vertheilung der Gattung Ceratites gezogenen Schlüsse sein.

Vor weiteren Versuchen einer Parallelisierung, welche trotz der von Mojsisovics mit vollem Rechte ausgesprochenen Warnung gemacht worden sind, übergehe ich diejenigen von v. Wöhrmann und E. Fraas, welche eine eingehendere Gliederung auf Grund einer gleichartigen Aenderung der Sedimente anzubahnen versuchen. Dieselben sind außer Stande gewesen, strenge Beweise für gleichartige Abgrenzung des Muschelkalkes innerhalb und außerhalb der Alpen zu erbringen.

Man hat dann ferner den gesammten alpinen Muschelkalk nur mit dem unteren deutschen Muschelkalk in Beziehung bringen wollen. (vgl. Jaekel (Neues Jahrb. 1889. Bd. II) dann aber Eck (Ztschr. d. d. geol. Ges. 1891. pag. 734)).

Als neuester Versuch, welcher sich wieder an palaeontologische Merkmale hält, ist derjenige von Salomon anzusehen. Die von Salomon gegebene Tabelle, welche im Text gebührend begründet ist, rückt die fragliche obere Grenze des außeralpinen Muschelkalkes in den alpinen Sedimenten um ein beträchtliches Stück nach oben. Er stellt den Wettersteinkalk, einen Theil des Marmolatakalkes und des Esinoskalkes noch mit dem oberen außeralpinen Muschelkalk in Parallele. Aber Benecke hat alsbald in seiner oben citierten kritischen Arbeit in ganz objektiver Weise hervorgehoben, daß wir nicht im Stande sind, den außeralpinen Muschelkalk nach seinen Faunenbeständen von der folgenden Lettenkohle, bis zum oberen gypsführenden Grenzdolomit, abzutrennen. Vielmehr geht die Muschelkalkfauna durch diese Ablagerungen bis über

den oberen Grenzdolomit hinauf. Dies Verhalten dürfen wir im alpinen Triasprofil in gleicher Weise erwarten.

Man sieht daraus, daß bisher die mannigfachsten Versuche angestellt sind, um die obere Grenze des außeralpinen Muschelkalkes in den alpinen Trias-Sedimenten wiederzuerkennen ohne zum abschließenden Urtheil über diese Verhältnisse gelangt zu sein.

Der Fund des alpinen Ceratites nodosus bei San Ulderico berechtigt uns nun aber, die Buchensteiner Schichten mit dem Haupthorizont dieses Ammoniten in der germanischen Trias, mit dem oberen Muschelkalk, zu parallelisieren.

Das Vorkommen von Ceratiten im untersten Lettenkohlenkeuper bei Lüneburg ist in Anbetracht des isolirten Auftretens und der geringfügigen Abweichungen, welche an dem alpinen Exemplar nicht in gleicher Weise vorhanden sind ohne daß gerade auf diese ein verschärfter Werth gelegt werden soll nicht im Stande, diese Parallele zu erschüttern.

-

Das alpine Exemplar stimmt aber mit einer im deutschen Muschelkalk nicht seltenen Varietät aufs beste überein.

Der Fund des alpinen Ceratites nodosus bei San Ulderico berechtigt uns nun auch, die obere Grenze des Muschelkalkes im alpinen Gebiete über die Buchensteiner Schichten zu setzen.

Wir nehmen damit eine Formationsgrenze aus der außeralpinen Trias in die alpine hinüber, ein Verfahren, was der Rechtfertigung bedarf. Mojsisovics, Waagen und Diener haben in dem oben. erwähnten Entwurf eines Triassystems principiell hervorgehoben, daß die deutsche Trias in Folge ihrer, der großen Thetys gegenüber eigenartigen, localen Entwicklung nicht mehr die Grundlage für die Gliederung der universellen, pelagischen Ablagerungen abgeben kann. Für die Bezeichnung Keuper, Lettenkohle etc. ist diese Bemerkung allerdings vollkommen berechtigt. Es hieße geradezu den Sinn derartiger lokaler Benennungen mißbrauchen, wenn man sie auf die alpinen Verhältnisse anwenden wollte. Anders mit dem Ausdruck Muschelkalk! Diesen können wir dem Sinne nach recht gut auf die alpinen Ablagerungen übertragen, derselbe hat sich deßhalb für letztere auch bereits allgemein eingebürgert. Da dieser Ausdruck aber ursprünglich aus der deutschen Trias hinübergenommen ist, sind wir auch berechtigt die stratigraphische Bedeutung des Ausdruckes, so wie sie in der außeralpinen Trias besteht, auf die alpine Trias zu übertragen.

Es wäre demnach, um eine vollkommene Synony

mie des Begriffes Muschelkalk in den beiden TriasAblagerungen zu erreichen, nothwendig, außer dem Virgloriakalk auch noch die Buchensteiner Schichten in die Bezeichnung Muschelkalk miteinzuschließen, - eine Maßnahme, zu der vor allem Güimbel, Bittner und Rothpletz auf Grund der übrigen Fauna bereits früher gelangt sind.

Endlich mag zur Erläuterung dieser stratigraphischen Bemerkungen noch eine Tabelle folgen, auf welcher die besprochene Parallelisierung der außeralpinen und alpinen Trias letztere nur an mir durch eigene Begehung bekannten Profilen zum Ausdruck kommt.

Ein neuer Beweis des Kroneckerschen Fundamentalsatzes über Abelsche Zahlkörper.

Von

David Hilbert.

Vorgelegt in der Sitzung am 25. Januar 1896.

L. Kronecker hat in den Monatsberichten der Berliner Akademie vom Jahre 1853 zuerst den fundamentalen Satz aufgestellt, daß die Wurzeln aller Abelschen Gleichungen im Bereich der rationalen Zahlen sich durch Einheitswurzeln rational ausdrücken lassen. Bezeichnet man diejenigen Zahlkörper, die durch Einheitswurzeln bestimmt sind, und alle Unterkörper von solchen Körpern kurz als Kreiskörper, so spricht sich der genannte Satz, wie folgt, aus:

Fundamentalsatz.

Alle Abelschen Zahlkörper im Gcbiete der rationalen Zahlen sind Kreis körper.

H. Weber hat in den Acta Mathematica Bd. 8 einen vollständigen und allgemeinen Beweis dieses Satzes erbracht. Die vorliegende Note enthält einen neuen Beweis, welcher weder die Kummersche Zerlegung der Lagrange schen Resolvente in Primideale noch die Anwendung der dem Wesen des Satzes fremdartigen transcendenten Methoden von Dirichlet erfordert. Der folgende Beweis ist vielmehr rein arithmetischer Natur; er beruht wesentlich auf den allgemeinen Begriffsbildungen, die ich in der Note Grundzüge einer Theorie des Galoisschen Zahlkörpers" in diesen Nachrichten vom Jahre 1894 kurz dargelegt habe und ist vermuthlich weitgehender Verallgemeinerungen fähig.

Wenn die Gruppe eines Abelschen Körpers aus den Potenzen einer einzigen Substitution besteht, so heiße der Abelsche Körper cyklisch. Wir construiren folgende besonderen cyklischen Körper. Es bedeute u eine ungerade Primzahl und + eine Potenz der

selben; dann ist der durch eu+ bestimmte Körper keu ein

cyklischer Körper vom u(u-1)ten Grade. Der cyklische Unterkörper vom uten Grade dieses Körpers werde mit U, bezeichnet; die Diskriminante von U, ist eine Potenz von u. Ferner bestimmt

ἐπ

in

24+1

die Zahl e2+i +e einen reellen cyklischen Körper vom 2' ten Grade. Dieser Körper werde mit Z, bezeichnet; die Diskriminante desselben ist eine Potenz von 2. Endlich wählen wir eine rationale Primzahl p mit der Congruenzeigenschaft p = 1 nach l^ aus, wo eine beliebige gerade oder ungerade Primzahl bedeutet; dann

2iπ

besitzt der Kreiskörper ke p vom Grade p-1 offenbar einen cyklischen Unterkörper vom Grade 1, dessen Diskriminante eine Potenz von p ist. Dieser cyklische Körper l'ten Grades werde mit P, bezeichnet. Die Körper U, Z, P, sind sämmtlich Kreiskörper.

h

Wir beweisen nun der Reihe nach folgende Hilfssätze über cyklische Körper.

Satz 1. Wenn ein beliebiger cyklischer Körper L, dessen Grad die Potenz einer geraden oder ungeraden Primzahl 7 ist, keinen der beiden Körper U, oder Z, als Unterkörper enthält, so

2ίπ

gibt es in dem durch die Zahl ℗ = e "bestimmten Körper k() stets eine ganze algebraische Zahl x von der Art, daß der aus k() und L zusammengesetzte Körper (, L) durch die Zahlen

und bestimmt ist. Die Zahl x besitzt obenein die Eigenschaft, daß die l'te Potenz einer Zahl in k() wird; dabei bedeutet r eine beliebige nicht durch 7 theilbare ganze rationale Zahl, ferner t = (:') die zugehörige Substitution der Gruppe des Kreiskörpers k() und endlich ist symbolisch tx = x' d. h. tx =x gesetzt.

Beweis. Ist a eine den Körper L, bestimmende ganze algebraische Zahl und sind 1, s, s2, s-1 die Substitutionen der Gruppe von L, so setze man

"2

Aus sK OK folgt leicht, daß die beiden Zahlen K" und À Zahlen des Körpers k() sind. Die Zahl x = K ist daher von der verlangten Beschaffenheit. Daß der durch und bestimmte Körper mit dem durch und a bestimmten Körper identisch ist, folgt leicht aus der Gleichheit ihrer Grade, da der letztere Körper den ersteren enthält.