ποίηται, ἐπὶ τὸ ἓν ἥμισυ, ἀφ ̓ ὧν ὁ ἡμιόλιος, τὸν δὲ ποιεῖ· δὶς γὰρ α' ήμισυ τ τρία, καὶ τὸ δίμοιρον τοῦ ἑνὸς * ἡμίσεος ἕνι

[13] Εἰκότως οὖν ὁ τῶν ιδ ́ πρὸς γ ̓ λόγος, τετραπλάσιος ὤν, διήρηται εἰς τὸ " ἡμιόλιον καὶ διπλασιεπιδίτριτον· ἐξ οὐ γὰρ ἕκαστος σύγκειται, εἰς ἐκεῖνον ἀνα

λύεται.

[14] Εἰ δὲ πρὸς τῷ ὑπολόγῳ τοῦ μείζονος ποιούμεθα τὴν ἀφαίρεσιν, ποιοῦμεν· ὡς τὸν ς' πρὸς δ', οὕτως ἄλλον τινὰ πρὸς γ ́, ἢ ἀνάπαλιν, ἵνα τὸν πρόλογον ὡρισμένον λάβωμεν, ὡς δ ̓ πρὸς τʹ, οὕτω καὶ * γ ́ πρὸς ἄλλον τινά.

a

[15] (Fig. 3, 4, 5.) Πάλιν οὖν ς' ἐπὶ τρία γίνεται τη', τὰ δὲ ιη' ἐπὶ τὰ δ ̓ α παραβληθέντα ποιεῖ δ' ἥμισυ *. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς δ' πρὸς 5', οὕτω " γ' πρὸς δ' ς", καὶ ἀνάπαλιν, ὡς ς' πρὸς δ', οὕτως δ' 5" πρὸς για ημιόλιος γὰρ ἑκάτερος· διήρηται οὖν πάλιν ὁ τῶν ιβ ́ πρὸς γ ́ λόγος εἴς τε τὸν ἢ τῶν ιβ ́ πρὸς δ' ς' καὶ εἰς τὸν τῶν δ' ς" πρὸς γ ́· καὶ ἀφαιρεθέντος τοῦ τῶν δ' 5" πρὸς γ ́, τοῦτ ̓ ἔστι, τοῦ ς ́ πρὸς δ ́, λείπεται ὁ τῶν ιβ ́ πρὸς δ' 5" πρὸς τῷ προλόγῳ, διπλασιεπιδίτριτος ὤν.

υ. ὡς ὁ ς' Β; idem C, correctum eadem manu qua figuræ descriptæ sunt. - [Mihi ὡς ὁ σ' retinendum videtur.

2. καὶ addit B.

γ. τὰ δὲ δ' ἐπὶ τά τ' B,C,V. Corrigo.

2.

O. R.]

Ἐπὶ τρία, παρὰ τὸν δ', ιη' ταῦτα διαιροῦνται, εἰς τέτταρας τετράδας· καὶ γὰρ τὰ ις' λοιπὰ β'· ὅ ἐστι ἐκ τετράδος μιᾶς· ἃ δς” ἐστὶ παραβληθέντα Β.

rapports celui de 12 à 8 et celui de 8 à 3. Si l'on ôte celui de 12 à 8 ou, ce qui est dire la même chose, celui de 6 à 4 (car l'un et l'autre est hémiole), il reste celui de 8 à 3, qui est diplasiépiditrite. (Ce résultat est bien celui qu'on doit avoir): car les 2 dont se

2

compose le diplasiépiditrite, multipliés par 1 dont se compose l'hémiole, font 4; en effet, deux fois 1 font 3. et les de 1

sont 1.

[13] C'est donc avec raison qu'on a décomposé le rapport de 12 à 3, qui est celui de 4 à 1, en deux rapports: l'hémiole et le diplasiepiditrite; car les deux proportions exprimées par ces deux derniers rapports se résolvent dans le premier.

[14] Si, d'autre part, nous ôtons le petit rapport au moyen du conséquent du grand rapport, nous dirons : comme 6 est à 4, de même un autre nombre est à 3, ou, en renversant les termes, pour avoir comme antécédent un nombre déterminé : comme 4 est à 6, de même 3 est à un autre nombre.

[15] (Fig. 3, 4, 5.) Nous aurons donc encore: 6 multiplié par 3 donne 18; 18 divisé par 4 donne 4 Puis donc qu'il est vrai que, comme 4 est à 6, de même 3 est à 4 inversement aussi, comme

1

2'

2

et celui de 4 à 3. Si l'on ôte

6 est à 4, de même 4 sera à 3; car chacun de ces deux rapports est hémiole. Le rapport de 12 à 3 a donc ici encore été décomposé en deux rapports: celui de 12 à 4: le rapport de 4 à 3, c'est-à-dire celui de 6 à 4, il reste celui de 12 4par l'antécédent, lequel rapport est diplasiépiditrite.

2

2

[16] (Fig. 6, 7.) Soit maintenant à ramener l'un des termes du grand rapport au terme correspondant du petit, en se servant, pour ôter le petit rapport, de l'antécédent (du petit rapport). Je dirai : comme 12 est à 3, de même 6 est à un autre nombre. Or, 6 fois 3 font 18; 18 divisé par 12 donne 1. Si je prends ce nombre

2

2

1. Ceci est une vérification: en retranchant de, qui est l'hémiole, on doit bien avoir le diplasiepiditrite, puisque le diplasiepiditrite multiplié par l'hémiole donne 4, qui est .

le

[DUMONTIER.]

si je forme ainsi

2. Ceci ne me semble pas clair; l'auteur veut peut-être dire : « rapport [et si je multiplie par ce rapport le rapport, que j'ai déjà], jobtiendrai

un rapport composé (ou produit de deux rapports) égal à

. » [0. R.]

[16] (Fig. 6, 7.) ̓Αλλὰ δὴ ἔστω τὸν μείζονα μεταγαγεῖν εἰς τὸν ἐλάττονα πρὸς τῷ προλόγῳ (τοῦ ἐλάττονος) ποιούμενον τὴν ἀφαίρεσιν. Ποιῶ τοίνυν· ὡς ιβ' πρὸς γ ́, οὕτως ς' πρὸς ἄλλον τινά. Εξάκις δὲ τρία ιη'· ταῦτα παρὰ τὸν ιβ ́ ποιεῖ τὸν α' ς”, ὅνπερ ὰ ὑποτάξας τῷ δ ̓ τὸν αὐτὸν ποιῶ λόγον, (τὸν) τῶν ς' πρὸς α' ς", ταὐτὸν δὲ εἰπεῖν, τὸν τῶν ιβ ́ πρὸς γ ́. Καὶ ἀφαιρεθέντος τοῦ λόγου τῶν 5 ́ πρὸς δ ́, καταλειφθήσεται ὁ τῶν δ ́ πρὸς α ς", πάλιν διπλασιεπιδίτριτος.

e

[17] Εἰ δὲ πρὸς τῷ ὑπολόγῳ τοῦ ἐλάττονος δεῖ ποιήσασθαι τὴν ἀφαίρεσιν, ποιῶ· ὡς γ ́ πρὸς ιβ ́, οὕτως δ ́ πρὸς ἄλλον τινά. Δωδεκάκις δὲ δ') μη· ταῦτα παρά τὸν γ ́ ποιεῖ ις ́, ὃν προτάξας τῷ β ς ποιῶ· ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τὰ δ ́ πρὸς ις ́ τοῖς γ ́ πρὸς 16 ́.

[18] Καὶ ἀνάπαλιν οὖν, ὡς ιβ ́ πρὸς γ ́, οὕτως ις ́ πρὸς δ ́. Αφηρημένου τοίνυν ἐκ τοῦ ἡ τῶν ις ́ πρὸς δ ́, ταὐτὸν δὲ εἰπεῖν, τοῦ τῶν) 16 ́ πρὸς γ ́, του λόγου τῶν ς' πρὸς δ ́, περιλειφθήσεται ὁ τῶν ις ́ πρὸς ς', πάλιν διπλασιεπιδίτριτος.

[19] Οὕτως μὲν οὖν καθόλου ποιητέον. Εἰ μέντοι εὕρωμεν ἐν τῷ μείζονι καὶ ἐλάττονι λόγῳ τὸν αὐτὸν ὅρον ἢ ἐν ὑπολόγοις ἢ ἐν προλόγοις, εὐμαρέστερον ἡμῖν ἔσται τὸ πρᾶγμα. Οἱ γὰρ παρὰ τοὺς αὐτοὺς ὅρους, οὗτοι τὸν λοιπὸν λόγον περιέξουσιν.

[20] Οἷον, δέον 1 ἔστω, ἀπὸ τοῦ λόγου τῶν ιβ ́ πρὸς γ ̓ τὸν τῶν ιβ ́ πρὸς δ' ἀφελεῖν, ἐναρμοζομένου τοῦ 16 ́ πρὸς τὸν ιβ ́ καὶ μέσου τιθεμένου τοῦ δ', ἀφῄρηται μὲν ὁ τῶν ιβ ́ πρὸς δ ́ λόγος, περιλείπεται δὲ ὁ τῶν δ ́ πρὸς γ ́, ἐπίτριτος ὤν· ἐπίτρίτος δ' ἐπὶ τριπλάσιον * τετραπλάσιον ποιεῖ.

1

[21] Κἀνταῦθα δὲ ὁμοίως δυνατὸν ἀπό τε τοῦ μείζονος εἰς τὸν ἐλάττονα καὶ ἀπὸ τοῦ ἐλάττονος εἰς τὸν μείζονα ποιεῖσθαι τὴν μεταγωγήν, ποτε μὲν πρὸς τῷ προλόγῳ, ποτὲ δὲ πρὸς τῷ ὑπολόγῳ γινομένης τῆς ἀφαιρέσεως.

Ο. ' ταῦτα om. Β.

α. ὅπερ B, C, V. Corrigo. — όπερ ὑποτάξας τῷ ιδ', τὸν αὐτὸν ποιῶ λόγον· τὸν Γ ́, πρὸς αςς' ὃν ἔχει τὰ ιβ' πρός γ'· ἀφηρημένον τοίνυν ἀπὸ τοῦ λόγου τῶν Γ ́, πρὸς ας", ταυτὸν δὲ εἰπεῖν τὰ ιβ ́ πρὸς γ ́ τοῦ λόγου τῶν ις' πρὸς δ', καταλειφθήσεται Β.

e. των om. G.

Γ. τετράκι δὲ τέσσαρα παρὰ τὸν γʹ ποιεῖ· ὃν προτάξας Β. δωδεκάκις δὲ ιη' ταῦτα etc. C. Correxerunt C. E. R. et O. R.

J. Tov B, C, V. Correxit O. R.

h. του om. Β.

i. Post πρός γ' verba οὕτως ις' προς δ', ταὐτὸν δὲ εἰπεῖν τοῦ ιβ' πρὸς γ' addit B. ή. δὲ Β.

Κ. ἐπιτριπλάσιον G.

Ζ. πρὸς Β.

pour conséquent de 4, j'établis un rapport qui équivaut à celui de 6 à 1, ou, ce qui est dire la même chose, à celui de 12 à 3. Après

Σ

avoir ôté le rapport de 6 à 4, il restera celui de 4 à 1, qui est en

core diplasiépiditrite.

[17] Si enfin il s'agit d'ôter le petit rapport en se servant du conséquent du petit, je dirai : comme 3 est à 12, de même 4 est à un autre nombre. 12 fois 4 font 48; 48 divisé par 3 donne 16. Je prends 16 pour antécédent de 6', et je dis 4 est à 16 dans le même rapport que 3 à 12.

[18] Inversement donc, comme 12 est à 3, de même 16 est à 4. Si maintenant l'on ôte du rapport de 16 à 4 ou, ce qui est dire la même chose, de celui de 12 à 3 le rapport de 6 à 4, il restera celui de 16 à 6, qui est encore diplasiépiditrite.

[19] Voilà donc comment il faut opérer en général. Si toutefois nous trouvons dans le grand rapport et dans le petit un terme commun, soit comme conséquent. soit comme antécédent, l'opération nous sera plus facile; car les termes qui restent, si l'on fait abstraction des termes semblables, comprendront précisément le rapport restant'.

[20] Par exemple, soit à enlever', du rapport de 12 à 3, celui de 12 à 4; je n'aurai, pour adapter le petit rapport au grand, qu'à écrire 12 en face de 12 et je prendrai pour moyen 4; puis, après avoir ôté le rapport de 12 à 4, il restera le rapport de 4 à 3, qui est épitrite. Or l'épitrite, multiplié par le triple, donne en effet le quadruple.

[21] Toutefois, ici comme plus haut, on peut aussi ramener l'un des termes du grand rapport au terme correspondant du petit ou l'un des termes du petit au terme correspondant du grand, en se servant, pour enlever le petit rapport, tantôt de l'antécédent, tantôt du conséquent de l'un ou de l'autre rapport.

1. On attendrait : « je prends 16 pour antécédent de 4 », de même qu'au § 16 on attendrait : je prends 1 pour conséquent de 6 », mais l'accord des deux passages ne permet guère de penser à une altération de texte. Il faudrait donc entendre encore : “ je forme le rapport, [par lequel je multiplierai le rapport donné ] [0. R.]

2. C'est-à-dire le quotient. Domninus ne veut pas dire que, pour diviser par exemple par 4, il faille éliminer 12 et diviser 4 par 3, car il ne connait pas la règle de la division des fractions. Il veut sans doute faire simplement cette remarque que, si l'on opère comme il a été dit plus haut, le résultat se composera précisément des nombres 4 et 3, contenus dans les deux rapports donnés. [O. R.] 3. Je crois que pasiv dépend de dov, accusatif neutre absolu, et que era forme une espèce de parenthèse, signifiant par exemple ou je suppose. » [0. R.] 4. C'est encore la vérification. [DUMONTIER.]

5. En d'autres termes, ce n'est qu'un cas particulier d'une règle toute générale, qui se vérifie dans tous les cas. Cf. la Note explicative.

[0. R.]

[22] Λόγος ἐκ λόγων συγκεῖσθαι λέγεται ὅταν αἱ τῶν λόγων πηλικότητες ἐφ' ἑαυτὰς πολλαπλασιασθεῖσαι ποιῶσί τινα.

m

[23] Δῆλον ὅτι ἐὰν ἀπὸ διδομένου και λόγου ἀφαιρεθῇ λόγος δεδομένος, δοθήσεται καὶ ὁ λοιπὸς τῶν συντεθέντων. Ἔχοντες (μὲν γὰρ τοῦ ἀφ' οὗ ἡ ἀφαίρεσις γίνεται τὴν πηλικότητα, ἔχοντες δὲ καὶ τὴν τοῦ ἀφαιρεθέντος, ἕξομεν καὶ τοῦ λοιποῦ τὴν πηλικότητα, ἥτις, ἐπὶ τὴν τοῦ ἀφαιρεθέντος γενομένη, ποιεῖ τὴν τοῦ συνθέτου πηλι κότητα.

m. ἀποδιδομένου G. ἀποδεχομένου B. Corrigo.

NOTE SUR LE TEXTE PRÉCÉDENT

La question traitée ici est celle de la différence des rapports comme on l'entend en acoustique 1, ce qui revient à une division de fractions.

L'auteur ne sait pas diviser en multipliant par la fraction diviseur renversée, et voici comment il tourne la difficulté.

Il part de cette définition: un rapport donné se compose d'autres rapports quand ceux-ci, multipliés entre eux, reproduisent le rapport donné.

Il pose ensuite un lemme qui revient à ceci : soit le rapport et une quantité C. On a

1o Le rapport à retrancher est ramené au même antécédent que

1. On peut dire en effet, par exemple, que la quarte est la différence entre la quinte et l'octave, quoiqu'en réalité, pour obtenir la quarte (), on divise (qui représente l'octave) par (qui représente la quinte). Toutefois, rien ne me semble indiquer que Domninus, en employant, pour désigner la division, les termes de shelv et de dpxipests, ait songé aux intervalles musicaux, et je ne crois pas que de désigne ici l'opération de la soustraction. Cf. la note 1 de la page 85, ainsi que les §§ 1 et 23 du texte grec. [0. R.]