Note sur les solutions singulières des équations différentielles du premier ordre, par M. P. Mansion, professeur extraordinaire à l'Université de Gand.

Dans cette note, nous nous proposons d'examiner quelques points de la théorie des solutions singulières des équations différentielles du premier ordre. Nous nous occuperons d'abord des équations de la forme

Ay'2 + By' + C = 0,

A, B, C étant des fonctions de x et de y, et y' la dérivée de y par rapport à x; puis des équations différentielles du 1er ordre, en général.

Équations de la forme Ay'2 + By' + C = 0.

1. M. Darboux a fait les observations suivantes sur l'équation :

K = Ay'2 + By' + C=0. .

(1)

« On admet qu'en général les courbes représentées par cette équation différentielle ont une enveloppe, et que cette enveloppe est donnée par l'équation

C'est précisément le contraire qui arrive; en général,

ces courbes n'ont pas d'enveloppe, et la courbe R=0 est le lieu de leurs points de rebroussement.

Si les courbes avaient, en effet, une enveloppe, pour tous les points de celle-ci, y' serait donné par l'équation différentielle; on aurait donc :

B

Cette dernière équation devrait donc être vérifiée, en même temps que l'équation R=0, ce qui n'a pas lieu en général, puisque R et sont deux fonctions indépendantes l'une de l'autre ». (Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris, t. LXX, p. 1328).

2A

On peut mettre ce raisonnement sous une forme plus probante, comme suit :

La courbe dont l'équation était plus haut R= 0, sera maintenant représentée par

¥ (x, y) = 0,

(*) Nous devons cette remarque à M. Gilbert.

(2')

que nous pouvons supposer mise sous la forme

y = xx

(2′′)

Pour que cette relation fût une solution singulière de l'équation différentielle donnée, on devrait avoir, quelle que fût la forme des fonctions et x, ?

x'x = p(x, xx).

ce qui, évidemment, n'a pas lieu en général.

(3')

2. La remarque de M. Darboux, exposée au numéro précédent, peut sembler étrange au premier abord, car les exemples classiques de solutions singulières semblent tous la contredire (*). M. Catalan signala immédiatement un cas remarquable où l'équation (2) conduit vraiment à la solution singulière (C. R., t. LXXI, p. 50). Le voici en substance. Soit l'équation :

où M et N sont des fonctions quelconques de x et de y, et c une constante arbitraire. Cette équation conduit à une équation différentielle de la forme (1), où

(*) Voir les nombreux exemples traités dans l'ouvrage consciencieux et trop peu connu : Des solutions singulières, par L. HOUTAIN. Bruxelles, Lesigne, 1854; 350 pages in-8°.

dans tous les cas où l'on n'aura pas de relation entre les fonctions M et N.

M. Darboux fit remarquer que ces cas particuliers n'in-. firmaient en rien sa propre théorie (C. R., t. LXXI, p. 267): « Il peut se présenter trois cas

1° L'équation de çondition (3) est satisfaite pour tous les points de la courbe R=0; alors cette courbe peut être, et est en général l'enveloppe;

2o L'équation de condition (3) n'est pas satisfaite par tous les points de la courbe R = 0; c'est là le cas général, et alors la courbe R=0 est, en général, le lieu des points de rebroussement, ou, si l'on veut, des points singuliers des courbes représentant les intégrales particulières;

3o La courbe R=0 peut se décomposer en deux parties, l'une pour laquelle l'équation de condition est satisfaite, et qui est l'enveloppe, l'autre pour laquelle cette équation n'est pas satisfaite, et qui est, en général, un lieu de points singuliers. »

On peut ajouter à ces remarques de M. Darboux, que les cas 1° et 2° peuvent se présenter à la fois. Ainsi l'équation

(y' — 1)2 = (y ——- x)23

a pour intégrale générale

(7)

± (y − x) = (± (x − c )3)12.

・ ・ ・ (8)

et pour solution singulière :

y = x

(9)

La courbe représentée par cette dernière équation est à la fois l'enveloppe et le lieu des points singuliers des courbes représentées par l'intégrale générale.

3. En dérivant l'équation donnée, on trouve aisément pourquoi l'équation R=0 représente un lieu de points singuliers dans le cas où les courbes dont l'équation satisfait à la relation (1) n'ont pas d'enveloppe. On trouve, en effet, de cette manière :

Le long de la courbe B dont l'équation est B2-4AC=0, on sait que l'équation (1) se réduit à

On a, de plus, d'après les relations (2) et.(11)

(11)