Si nous appelons y la valeur de y' tirée de l'équation R0, c'est-à-dire :

nous pourrons mettre l'équation (10′), pour les points des courbes représentées par l'intégrale générale situés sur la courbe dont l'équation est R=0:

Faisons abstraction du cas où le dénominateur du second membre est nul ou infini; nous pouvons supposer:

1° Que l'on a, à la fois,

y' = ∞ et lim (2Ay' + B) y"=0.

Dans ce cas, l'équation R=0 représente l'enveloppe des courbes données par l'intégrale générale et le lieu de leurs points de courbure infinie. C'est ce qui arrive dans le cas de l'équation (7) donnée plus haut.

2o Que l'on a y" non infini, et par suite

lim (2Ay'+B) y"= 0.

Dans ce cas, l'équation R= 0 représente l'enveloppe des

courbes données par l'intégrale générale; il n'y aura pas, sauf par exception, de lieu des points de ces courbes où la courbure est infinie, car l'équation (10) prouve que y" ne devient infini, en général, que si l'on a 2Ay'+B=0. 3° Enfin il se peut que l'on ait y" infini et que l'on n'ait pas

lim (2Ay' + B) y"= 0.

C'est le cas général, comme on l'a vu au no 1. L'équation R=0 représente, dans ce cas, le lieu des points singuliers dont nous avons déjà parlé.

En voici deux exemples dont le second est emprunté au calcul intégral de Serret, p. 383; la remarque de la fin du n° 1 permet d'ailleurs d'en trouver autant que l'on veut, L'équation

qui donne le lieu des points de rebroussement, non l'enveloppe des courbes représentées par l'intégrale générale. L'équation différentielle

en prenant x pour variable dépendante, a pour intégrale générale

(3yx + 2x3 + C)2 — 4 (y + x2)3 — 0 . . (15)

qui ne satisfait pas à l'équation différentielle, mais donne le lieu des points de rebroussement des courbes représentées par l'équation (13) (*).

En résumé donc, les équations

caractérisent le lieu des points des courbes représentées par l'intégrale générale, où la courbure est infinie, ou l'enveloppe de ces lignes, ou bien une courbe qui jouit de ces deux propriétés. De plus, le raisonnement de la fin du no 2 prouve que le premier cas est le cas général.

II.

Équations générales du premier ordre.

4. M. Darboux a encore fait les observations suivantes, relativement à la théorie des solutions singulières (C. R., t. LXXI, p. 217 et sqq).

• Soit une équation différentielle

(*) On n'a pas rencontré souvent ce cas où y'' = ∞, quoiqu'il soit le plus fréquent, parce que les exemples classiques conduisent presque tous à une intégrale générale qui représente une courbe du second degré, ou. une autre courbe n'ayant qu'à l'infini un point où la courbure est infinie. Voir HOUTAIN, Exemples, pp. 25-42.

Prenons la dérivée de cette équation par rapport à y',

Si entre cette équation et la précédente, on élimine y', on admet qu'on aura, en général, une solution singulière. Il résulte de là, qu'en déduisant des deux équations, les valeurs de y et de y', la valeur obtenue pour y' devrait être la dérivée de la valeur obtenue pour y, résultat évidemment absurde, puisque la composition en x de l'équation différentielle est tout à fait arbitraire, et qu'on pourra, dans les formules, remplacer un coefficient constant par une fonction quelconque de x, sans rien changer à la suite des opérations (il n'y a pas de dérivée par rapport à x). »

On pourrait peut-être mettre en doute la conclusion de ce raisonnement parce qu'il ne tient pas compte de cette circonstance que non-seulement l'équation (15) se déduit de l'équation (14) par une opération qui ne touche en rien aux x, mais que cette opération est une dérivation par rapport à y'. Peut-on savoir, à priori, que l'équation (15) n'est pas la condition nécessaire pour que les systèmes de courbes représentées par l'équation (14) quand les paramètres y représentent diverses fonctions de x, aient une enveloppe représentée par le résultat de l'élimination de y' entre les équations (14) et (15)? Cela ne semble pas évident. Un raisonnement identique à celui de M. Darboux pourrait être dirigé contre la théorie ordinaire des courbes enveloppes: il suffirait de remplacer dans la remarque de M. Darboux, y' par un paramètre variable, et les mots solutions singulières par enveloppe. Le regarderait-on, dans ce cas, comme concluant?

Mais ce raisonnement a un autre défaut. Les équations (14) et (15) ne donnent pas nécessairement les solutions singulières de l'équation (14) quand celle-ci a de telles solutions. En réalité, les solutions singulières sont données, quand elles existent, par les deux systèmes suivants (x' est la dérivée de x par rapport à y) :

Les objections de M. Darboux ne peuvent plus s'appliquer ici. Si l'on change dans l'équation (16) une constante en une fonction de x, il pourra se faire, ou bien que la nouvelle équation n'ait plus de solution singulière; ou bien, si elle en a encore une, qu'elle soit donnée par les équations (18) et (19) dont la seconde contient une dérivée par rapport à x. Il peut se faire aussi que la solution singulière ne change pas.

5. M. de Morgan (*) essaye de démontrer comme suit que les systèmes (16) et (17), (18) et (19) conduisent, en

(*) Voir BOOLE, Treatise on differential equations, 2e édition, p. 181, Supplementary volume, p.36. Boole renvoie au recueil intitulé: Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. IX, part. II, où M. de Morgan donne la démonstration du théorème rappelé ici, avec des exemples géométriques du cas exceptionnel.