VI.

CONCLUSIONS.

2o

=

-i ia, d'où, approximativement, sin 2 (p a, ce qui fait connaître l'écart angulaire initial. b. Cette égalité ne fait connaître, à la rigueur, ni g', ni v; mais, comme on possède déjà des valeurs approchées de ces quantités, il sera facile, en général, de déterminer leurs valeurs les plus probables, qui, d'ailleurs, n'entrent séparément que dans t et dans u.

On ne doit pas oublier que v représente une vitesse initiale corrigée; en effet, d'une part, ce n'est pas à la bouche même qu'on mesure la vitesse au moyen des appareils, et d'autre part, les lois ordinaires de la balistique ne sont pas applicables à la portion du trajet pendant laquelle les gaz agissent encore sur le projectile.

5° Loi de la résistance. La valeur de ẞ la fait connaître approximativement. Suivant que ẞ est compris entreet, ou bien entre et 0, l'exposant moyen de la vitesse (projetée) dans l'expression de la résistance est compris entre 2 et 3, ou bien entre 3 et 4. On le déterminerait par interpolation, si cela pouvait être utile.

6o Formules définitives. Je suppose d'abord que ẞ soit

compris entre et 0. On peut alors considérer ẞ comme une moyenne entre ces deux valeurs, auxquelles on attribuerait, bien entendu, des poids ou des coefficients d'importance différents, dont l'un peut toujours être représenté par l'unité; 7 étant l'autre poids (celui de la valeur¦), on

Attribuant ces mêmes poids 7 et 1 aux coefficients respectifs de k2x2 dans les valeurs de I, pour le cube et la quatrième puissance, on trouve pour coefficient intermédiaire 7+ ce qui, en remplaçant y par sa valeur, se réduit à 23.

1/3 Y 2+1'

Agissant de même pour D et W, on trouve respectivement pour coefficients moyens de k2x2 dans ces deux expressions: Bet 3 (ẞ — 1).

Si l'on suppose maintenant que ẞ soit compris entre et, et si l'on refait des calculs analogues, on retrouve, comme on devait s'y attendre, les trois mêmes valeurs 2 ß, Bet 3 (ẞ — ), de sorte qu'il n'est plus nécessaire de se préoccuper de la loi de la résistance.

On peut donc poser, comme formules de la balistique appliquée, les formules (1) complétées par les suivantes :

ß

4bd

9c21

sauf les restrictions qui pourraient dépendre des séries non terminées, dans le cas où ẞ s'écarterait beaucoup de, et dont il sera toujours facile de tenir compte en examinant jusqu'à quelle distance x le terme suivant est négligeable. On a d'ailleurs k = 3, B=d; b, c, d étant les coefficients trouvés par la méthode des moindres carrés dans sin 291 = a + bx + cx2 + dx3, et q, étant l'angle de pro201 jection qui résulte du tableau des hausses pour y=0 (donc, en général, plus petit que l'angle de projection véritable ).

Si l'on possède des résultats d'expériences sur les angles de chute, les durées et les vitesses conservées, on s'en servira pour contrôler cette théorie. L'angle de chute peut toujours se déduire approximativement de la table de tir, sa tangente ayant pour numérateur la quantité dont 1mm en plus ou en moins dans la hausse ferait changer la hauteur d'impacte dans une cible verticale, et pour dénominateur la quantité dont cette même variation de hausse ferait changer la portée (le point visé étant invariable).

On pourra construire un tableau des valeurs de 9-912 Фі de k, de ẞ, de g' et de v, pour chaque arme, chaque charge et, au besoin, chaque projectile. Ce tableau étant construit une fois pour toutes, les formules ci-dessus présenteront, outre l'avantage d'être déduites d'une théorie rationnelle, celui d'être au moins aussi simples que les formules empiriques moins exactes que l'on y substitue quelquefois. Le tableau fera voir, d'ailleurs, s'il est permis ou non de remplacer quelques-uns des éléments qu'il renferme, ou des combinaisons de ces éléments, par des valeurs moyennes, s'appliquant à la fois à plusieurs armes ou à plusieurs circonstances de tir.

Sur quelques questions de géométrie; par Louis Saltel.

1° Sur les transformations unicursales. - Les travaux de M. Cremona, sur les transformations unicursales, l'ont conduit à ce beau résultat :

Toute courbe d'ordre n, transformée d'une droite, » peut être obtenue en faisant subir, à une autre droite, » une série de transformations par rayons vecteurs réci> proques et de transformations homographiques. >>

Ce théorème, qui réduit à deux toutes les transformations unicursales, peut être généralisé; toutes ces transformations peuvent se réduire à une seule, et l'on peut dire que :

Toute courbe d'ordre n, transformée d'une droite, » peut être obtenue en faisant subir, à une autre droite, une série de transformations arguesiennes. »

NOTA. Nous légitimerons cette généralisation dans une note insérée à la fin de la seconde partie du mémoire; on peut d'ailleurs en vérifier l'exactitude, en comparant les solutions trouvées par M. Cremona, dans son mémoire de 1865 (Académie de Bologne), avec les courbes mentionnées dans le paragraphe VII de notre mémoire; on reconnaîtra qu'il y a identité parfaite (1).

(1) On pourrait s'étonner que cette identité ne nous ait pas suggéré cette généralisation lors de la composition du mémoire. A cela, nous ferons observer qu'à cette époque, nous quittions à peine les bancs des lycées el que nous ignorions entièrement les beaux travaux de M. Cremona. C'est seulement depuis quelques jours qu'ils nous sont connus, grâce à une longue lettre que l'illustre géomètre italien a bien voulu nous adresser sur ce sujet.

2° Sur une transformation de M. Hirst. Si, dans la transformation arguesienne, on suppose que les deux coniques de référence coïncident, on obtient la transformation à laquelle l'éminent professeur de l'université de Londres a donné le nom d'inversion quadrique. (Voir le rapport de M. Chasles sur les progrès de la géométrie, page 167.)

3° Sur un théorème de la géométrie des surfaces. Si une surface d'ordre m, a deux points multiples d'ordre p, q tels que :

p+q=m+r,

la droite qui les joint est multiple d'ordre r.

4° Sur le cercle osculateur en un point quelconque d'une courbe du quatrième ordre à trois points doubles, dont deux sont les points circulaires à l'infini. Soit w une courbe du quatrième ordre à trois points doubles E, T, J, déterminée par ces points doubles et cinq autres points A, B, C, D, dont deux sont confondus en A suivant la direction AT. Considérons les seconds points d'intersection F, H des cercles (EBC), (EDC) avec le cercle tangent en A à AT et passant par E; imaginons les cercles tangents, en A, aux cercles (ADE), (ABE) et passant respectivement par les points F, H; ces deux cercles se coupent en un second point A'; le cercle tangent en A à AT et passant par A' est le cercle osculateur, en A, à la courbe proposée. NOTA. Cette construction s'applique, en particulier, au Limaçon de Pascal et à la Lemniscate de Bernoulli.