est inabordable à la science humaine. A la seconde série des connaissances produites par l'intelligence appartiennent celles qui concernent le moi libre et impérissable; ce sont des connaissances que j'appellerai d'intuition, parce qu'il n'est pas possible d'en donner la démonstration scientifique comme de celles de la première classe; elles sont acceptées de confiance par ceux qui ne peuvent accomplir le même travail intellectuel; elles sont développées de génération en génération, modifiées par les races et les lieux. Nier à cause de l'absence de démonstration scientifique l'existence de ce moi libre et impérissable, c'est retourner au matérialisme brutal du nègre sauvage de l'Afrique centrale dont nous parle sir Samuel Baker dans son voyage à la découverte des sources du Nil.

Rectification à la notice sur un nouveau genre de poissons de la craie supérieure (1), par M. L. de Koninck, membre de l'Académie.

A la séance du mois de février dernier j'ai décrit une espèce de poisson pour laquelle j'ai été obligé de créer un nouveau genre, par la raison que je n'ai pu la rapporter à aucun des genres actuellement connus. Malheureusement le nom d'Ankistrodus ayant déjà été employé par M. Debey (2), je me trouve dans la nécessité de le changer en celui de Ancistrognathus, qui m'a été suggéré par sir Philippe de Malpas Gray Egerton, et qui a l'avan

(1) Bulletins de l'Acad., 2e série, t. XXIX, p. 75.
(2) Voir Pictet, Traité de paléontologie, t. 1, p. 253.

tage d'exprimer encore mieux son caractère de plaque dentale, tout en conservant l'indication de la forme qu'elle possède et qui a donné lieu au nom primitivement choisi.

M. Melsens communique verbalement quelques expériences sur la vitalité de la levûre de bière; elles font suite aux communications déposées dans les séances de juin et d'août 1866 et de janvier 1868.

En ce qui concerne la levure de bière, les expériences nouvelles confirment complétement les anciennes.

M. Melsens expose ensuite le résultat d'expériences relatives au vaccin; il a refroidi à 80°C au-dessous de zéro environ du virus vaccin d'origine jennérienne; la durée du refroidissement a été de plus d'une heure, et malgré l'action du froid, le virus vaccin avait conservé son activité spéciale.

La vaccination par du virus préalablement soumis au refroidissement a été pratiqué par M. le Dr Jacobs; M. Melsens donne lecture de la lettre de ce savant médecin.

Note sur les surfaces à courbure moyenne constante; par M. J.-M. De Tilly, capitaine d'artillerie, professeur à l'École militaire.

Les surfaces dont la courbure moyenne est constante se divisent en trois catégories, suivant que cette courbure est nulle, positive ou négative.

Les surfaces dont la courbure moyenne est nulle (surfaces développables) peuvent s'appliquer sur un plan par une simple flexion de leurs éléments, sans extension, contraction, déchirure, ni duplicature. On en déduit aisément

que la géométrie (ou si l'on veut la trigonométrie) des figures tracées sur une surface développable est la même que celle des figures tracées sur un plan, pourvu que l'on remplace les lignes droites par les lignes géodésiques de la surface développable, lignes géodésiques parmi lesquelles se trouvent les génératrices rectilignes dans ce cas particulier.

Les surfaces dont la courbure moyenne constante est positive peuvent s'appliquer de la même manière sur une sphère, et leur géométrie est la même que celle de la surface sphérique, les lignes géodésiques remplaçant les arcs de grand cercle.

Ces résultats sont connus, mais il restait une lacune en ce qui concerne la géométrie des surfaces dont la courbure moyenne constante est négative. Elle vient d'être comblée par M. Beltrami, professeur à l'université de Bologne (*), qui a démontré que la géométrie euclidienne de ces surfaces, que j'appellerai, d'après lui, pseudosphères, est la même la géométrie non euclidienne du plan.

que

A ce géomètre revient donc la priorité de cette découverte (**), que l'on doit considérer comme importante, puisque la géométrie des surfaces en question se trouve ainsi faite, tout d'une pièce, par les géomètres non euclidiens, et à leur insu.

Ceci posé, et au risque d'être rangé au nombre de ces calculateurs stériles dont parle Poinsot, qui vont après

(*) Saggio d'interpretazione della geometria non euclidea, Giornale di matematiche, t. VI, 1868; traduit par M. Hoüel et inséré dans les Annales scientifiques de l'École normale supérieure, t. VI, 1869.

(**) Il y avait cependant sur les propriétés des surfaces pseudosphériques quelques travaux antérieurs que M. Beltrami siguale lui-même.

coup rechercher dans leurs formules des résultats qu'ils n'y eussent point vus si d'autres ne les y avaient découverts par des voies différentes; je demande la permission de faire observer que, pour celui qui connaît les raisonnements et les calculs développés dans mes Études de mécanique abstraite ("), le théorème de M. Beltrami peut se démontrer en moins de lignes que ce savant n'y consacre de pages.

En effet, si je considère une figure tracée sur une surface à courbure constante (nulle, positive ou négative); que je la fasse glisser sur cette surface en la déformant par flexion, mais sans extension, contraction, déchirure, ni duplicature, et que j'assujettisse déux de ses points à décrire la ligne géodésique qui les joint, je puis appeler un pareil mouvement une translation. Si, au contraire, j'assujettissais un point à rester immobile, je pourrais appeler le nouveau mouvement de la figure une rotation.

Dès lors, cette belle définition donnée par M. Lamarle : « Une courbe plane est la trace d'un point qui glisse sur une droite mobile, qui est la tangente, pendant que cette droite tourne autour de lui dans le plan, peut se transformer et s'étendre comme suit :

« Une courbe tracée sur une surface à courbure moyenne constante est la trace d'un point qui glisse sur une ligne géodésique tangente à la courbe, pendant que cette ligne géodésique tourne autour de lui dans la surface, » le mot tourne étant compris dans le sens qui vient d'être attaché à la rotation sur une pareille surface.

Que l'on reprenne maintenant les Études de mécanique abstraite, depuis la page 11, mais en se plaçant dans la

(*) Tome XXI des Mémoires couronnés et autres mémoires publiés par l'Académie royale de Belgique. (Coll. in-8°.)

géométrie euclidienne; que l'on remplace partout l'expression plan par surface à courbure moyenne constante et l'expression droite par ligne géodésique; que l'on fasse toujours tourner simultanément le système des deux lignes géodésiques, tangente et normale, et glisser celle-ci par translation avec le point décrivant; que l'on engendre les circonférences et les équidistantes comme dans le plan, sauf à tenir compte des conventions précédentes, ce qui rend circ R et eq R entièrement déterminées en fonction de R, ainsi que o en fonction de v et de R, dans ces deux courbes, d'après des propriétés connues des surfaces considérées, et l'on s'apercevra très-aisément que tous les raisonnements subsistent comme je l'avais déjà remarqué (pp. 27 et 34) pour la sphère, surface à courbure uniforme. Mais maintenant il suffit que la courbure moyenne soit constante.

On ne fera aucune hypothèse sur le signe de eq R — 1 sauf à remarquer que ce signe reste toujours le même sur une même surface. Il faudra donc se conformer aux prescriptions des pages 32 et 33, c'est-à-dire que les équations (13) à (16) et (21) devront s'écrire :

(16) eq (a + b) = eg a eq b±√(eq2 a − 1) (eq2 b — 1).