qui sont droites en projection horizontale; 2° les courbes de contact horizontales (en désignant ainsi toute courbe de contact de la surface avec un plan horizontal); 3° une certaine classe de lignes qui se rencontrent fréquemment dans les surfaces naturelles et dont l'importance est assez grande, je crois, pour qu'il soit indispensable d'en tenir compte dans toute bonne définition des lignes de faîte ou de thalweg, d'autant plus qu'on y rattache facilement les arêtes qui, elles aussi, me paraissent très-importantes au point de vue topographique; elles sont caractérisées par la propriété qu'en projection horizontale elles constituent des enveloppes des lignes de plus grande pente (en entendant par li qu'en raison de l'incertitude dans laquelle on est toujours sur la forme vraie des surfaces naturelles, on est en droit de les regarder rigoureusement comme telles), et par conséquent d'ailleurs sont elles-mêmes lignes de plus grande pente. Les lignes de la première catégorie satisfont évidemment à la définition que nous venons d'exposer. Celles de la deuxième y satisfont aussi, comme on s'en assure par des considérations très-simples en regardant une courbe de contact horizontale comme formée de deux courbes infiniment voisines d'intersection de la surface et d'un plan horizontal. Quant aux lignes de la troisième catégorie, on voit facilement d'abord qu'elles représentent des lieux de points à rayon de courbure nul des courbes de niveau (lieux que je désigne par le nom de courbes de points initiaux); et si, par un quelconque de leurs points on mène une normale à la courbe de niveau qui y passe, on reconnaît qu'elle ne peut pas en général être normale à la courbe de niveau infiniment voisine; donc, la définition provisoire que nous avons donnée des points de faîte (ou de thalweg) se trouve ici en défaut. Seulement nous remarquerons qu'une quelconque des lignes appartenant à cette catégorie jouit, non seulement de la propriété d'être ligne

de plus grande pente et courbe de points initiaux, mais encore de celle d'être une enveloppe des développées des courbes de niveau; cette dernière propriété peut d'ailleurs s'énoncer ainsi elle est un lieu de points tels que le centre de courbure, relatif à l'un quelconque d'entre eux, de la courbe de niveau qui y passe, est point d'enveloppe de la développée de cette courbe de niveau, c'est à dire un point de rencontre de cette développée avec celle de la courbe de niveau infiniment voisine.

Revenons maintenant aux points ordinaires des courbes de niveau, pour lesquels le rayon de courbure n'est pas nul. Soient en projection horizontale P et Q deux courbes infiniment voisines dont les équations soient respectivement F(x, y, h) = 0 et F (x, y, h + dh) = 0, et et leurs 9

développées. Par un point A pris sur la courbe P je mène la normale à cette courbe tangente en a à sa développée Fig. 1., et rencontrant la courbe Q au point B; par le point B je mène la normale à la courbe Q, tangente en b à sa développée, et j'appelle e l'angle des deux normales B a et B b. Pour que A B soit normale commune aux courbes Pet Q, il faut et il suffit que le rapport soit infiniment

dh

petit. Or, je prouve que si ce rapport est infiniment petit, le point a est toujours point d'enveloppe de la courbe 9, et que réciproquement, si le point a est un point de contact de la courbe avec une enveloppe de la série des courbes.

ε

dh

,, etc., le rapport est infiniment petit. Donc pour que A B soit normale commune aux courbes P et Q, il faut et il suffit que le point a soit point d'enveloppe de la courbe ?, autrement dit que le centre de courbure, relatif au point A, de la courbe P soit point d'enveloppe de la développée de P. Or, si A B est normale commune aux courbes infini

ment voisines P et Q, le point A est point de faîte (ou de thalweg). Donc, au lieu de dire que le point de faîte (ou de thalweg) A est caractérisé par la propriété que A B est normale commune à ces deux courbes, on peut dire qu'il est caractérisé par la propriété que le centre de courbure, relatif à ce point, de la courbe de niveau qui y passe est point d'enveloppe de la développée de cette courbe de niveau. D'ailleurs, nous venons de voir précédemment que tous les points d'une enveloppe des lignes de plus grande pente, points qui sont essentiellement points de faîte (ou de thalweg), jouissent de la même propriété caractéristique. En conséquence et en observant qu'il y a avantage à réunir les points de faîte et ceux de thalweg sous une même dénomination, par exemple celle de points topographiques, puisqu'ils sont caractérisés par les mêmes propriétés géométriques, nous adopterons la définition suivante :

On appelle point topographique tout point d'une surface tel qu'en projection horizontale le centre de courbure, relatif à ce point, de la courbe de niveau qui y passe est point d'enveloppe de la développée de cette courbe de niveau. Seulement, pour trouver analytiquement les points. et lignes topographiques, on a le droit d'utiliser la première définition, beaucoup plus facile à traduire en langage algebrique, sauf à s'occuper séparément des points singuliers des courbes de niveau pour lesquels le rayon de courbure serait nul.

Les lignes topographiques ne sont jamais confondues avec les lignes de plus grande pente que dans des conditions très-particulières; et l'obscurité qui a régné jusqu'à présent dans la question des faîtes et thalwegs provient uniquement, je crois, de la confusion qui résultat du même nom donné à deux lieux géométriques essentiellement différents: la ligne de partage ou de rassemblement

des eaux, qui ne peut être qu'une ligne de plus grande pente, et le lieu des points topographiques; cette confusion d'ailleurs était toute naturelle parce que dans la nature ces lignes sont habituellement très-peu différentes l'une de l'autre.

La marche que j'ai suivie pour arriver à ma définition. des points topographiques est en définitive uniquement basée sur l'observation; ce premier travail, que je considère comme le plus important, m'a demandé beaucoup de temps parce que ce n'est qu'après de longues hésitations. que je me suis décidé à séparer nettement l'étude des lignes. topographiques de celle des lignes de plus grande pente. Dans la rédaction de mon mémoire, j'ai suivi une marche. inverse, et j'ai traité la question synthétiquement. Il comprend deux Livres :

Le Livre I est consacré exclusivement au rappel de notions diverses et à quelques développements sur des théories connues, qui m'étaient nécessaires; j'y traite assez longuement de la question des indicatrices et de celle des enveloppes, sans m'astreiudre à ce que l'indicatrice soit du deuxième degré, ni à ce que l'enveloppe ait avec ses enveloppées un contact de premier ordre seulement, ce que j'ai fait afin de donner une plus grande généralité à mon étude. J'y consacre deux articles presque entiers à démontrer les propositions à l'aide desquelles on peut passer de la définition des points topographiques fondée sur les enveloppes à celle fondée sur les normales communes ; ces propositions, très-simples dans les cas habituels, exigeaient d'assez grands développements pour être étendues aux cas singuliers, et comme elles sont fondamentales, j'ai cru devoir donner à leur démonstration le plus de généralité possible.

Le Livre II est celui dans lequel j'expose toutes mes définitions L'étude des lignes topographiques, lignes de plus

grande pente, lignes de partage ou de rassemblement des eaux, etc. y est traitée avec beaucoup de détails; je l'ai fait, surtout en vue des surfaces naturelles qui présentent toutes sortes de complications, afin de multiplier pour ainsi dire les types auxquels on peut parfois assimiler approximativement une quelconque de leurs parties.

Chacun des Livres I et II est divisé en Chapitres, subdivisés eux-mêmes en Articles, que nous suivrons successivement dans le Résumé, en nous bornant à mentionner ce qu'il peut y avoir de plus saillant dans chacun d'eux, sans aucune démonstration.