angle infiniment petit, est infiniment grand par rapport aux rayons vecteurs non confondus avec les asymptotes, et par conséquent doit être regardé comme étant aussi une asymptote de la surindicatrice. Les tangentes à l'indicatrice et à la surindicatrice menées par les points de rencontre respectifs B et B' avec chacune deces courbes d'un rayon vecteur quelconque non confondu avec une asymptote de l'indicatrice, font entre elles un angle. qui est toujours infiniment petit, et généralement infiniment petit du même ordre que le rayon vecteur A B. La plus courte distance entre les normales à une surface. menées, l'une par le point quelconque A, l'autre par un point infiniment voisin pris sur une des sections normales principales relatives au point A, est toujours infiniment petite par rapport à la distance de leurs pieds sur la surface, et généralement du deuxième ordre, la distance de leurs pieds étant prise pour infiniment petit du premier ordre. Et réciproquement. Le rayon de courbure de l'indicatrice au point quelconque B et celui de la surindicatrice au point correspondant B'sur le même rayon vecteur) sont égaux à des infiniment petits près par rapport à eux. Si le rayon de courbure au point B de l indicatrice est maximum ou minimum ou infini, il existe sur la surindicatrice un point correspondant C jouissant de la même propriété, et l'angle formé par les rayons vecteurs A B et AC est toujours infiniment petit. Et réciproquement. Si l'on peut mener du point A une tangente à la surindicatrice, l'indicatrice a nécessairement une asymptote avec laquelle la tangente à la surindicatrice fait un angle infiniment petit. S'il existe sur la surindicatrice un point M, soit de contact avec une tangente menée par le point A, soit à rayon de courbure maximum ou minimum, soit d inflexion, n'ayant pas son correspondant sur l'indicatrice, celle-ci a nécessairement une asymptote avec laquelle le rayon vecteur A M de la surindicatrice fait un angle infiniment petit; et, par conséquent, si on trace le lieu des points homologues de M situés sur les projections de chacune des courbes de niveau de la surface, on obtient une courbe tangente en A à cette asymptote. De plus, le rayon vecteur A M fait un angle soit rigoureusement nul, soit infiniment petit avec la tangente en ce point à la surindicatrice. Lorsque l'indicatrice n'est pas une circonférence, à chacun des rayons vecteurs normaux de l'indicatrice correspond toujours un rayon vecteur normal de la surindicatrice du mêine degré de multiplicité et faisant avec lui un angle infiniment petit, généralement du même ordre que ce rayon vecteur. Lorsque l'indicatrice est une circonférence, les rayons vecteurs normaux à l'indicatrice sont en nombre infini, tandis que le nombre de ceux normaux à la surindicatrice est toujours déterminé; il peut d'ailleurs être quelconque et même être réduit à deux, donnant par leur réunion un seul rayon vecteur normal double de la surindicatrice. Réciproquement, à chaque rayon vecteur normal de la surindicatrice correspond toujours un rayon vecteur normal de l'indicatrice. Une asymptote ayant un certain degré de multiplicité relativement à l'indicatrice est du même degré de multiplicité relativement à la surindicatrice; et réciproquement. CHAPITRE IV. REMARQUES SUR L'ORDRE DE GRANDEUR ET LE RAPPORT DE POINTS D'ENVELOPPE. QUELQUES INFINIMENT PETITS. ENVELOPPES. ORDRE DE GRANDEUR DE LA DISTANCE ENTRE DEUX TANGENTES INFINIMENT VOISINES PARALLÈLES MENÉES INFINIMENT VOISINES D'UNE MÊME SÉRIE. Article 1er. Remarques sur l'ordre de grandeur et le rapport de quelques infiniment petits. Cet article est la réunion d'un certain nombre de résultats obtenus par le calcul qui me sont nécessaires dans la suite, principalement pour la démonstration d'une proposition fondamentale énoncée dans l article III du même Chapitre. Je crois inutile d'en parler dans ce résumé ; de sorte que cet article ne figure ici que pour mémoire. Article II. Points d'enveloppe. Enveloppes. . Etant donnée dans un plan une série continue de courbes représentées par l'équation générale F (x, y, h) = o, hétant le paramètre variable dont les valeurs successives déterminent les courbes de la série, j'appelle point d'enveloppe d'une courbe quelconque P de cette série, dont l'équation est F(x, y, h) = o, tout point de cette courbe satisfaisant à la condition que, si de ce point dans son plan on abaisse une normale jusqu'à son premier point de rencontre avec la courbe infiniment voisine P' dont l'équation est F(x, y, h + Ah) = o, la longueur de cette normale est soit rigoureusement nulle, soit infiniment petite par rapport à l'accroissement ▲h du paramètre. Prenons trois axes de cordonnées rectangulaires, les axes des x et des y étant confondus avec ceux auxquels est rapportée la courbe P, et construisons dans ce système d'axes la surface S dont l'équation est : F(x, y, z) = o. Les courbes de la série ne sont autres que les projections horizontales des courbes de niveau de cette surface; et on voit immédiatement: 4° que tout point d'enveloppe est la projection horizontale d'un point de la surface pour lequel le plan tangent est vertical; 2o que réciproquement la projection horizontale d'un point de la surface pour lequel le plan tangent est vertical, est toujours un point d'enveloppe. Donc les points d'enveloppe relatifs aux courbes de la série représentée par l'équation F ( x, y, h): o ne sont autres que les points de contour apparent relatifs à la surface dont l'équation est F(x, y, z) = o ; et de même les expressions de courbes enveloppes ou courbes de contour apparent sont synonymes, en désignant par enveloppe un lieu de points d'enveloppe homologues. Nous désignerons habituellement les courbes d'une série qui ont une enveloppe sous le nom d'enveloppées relativement à cette enveloppe. Une enveloppe peut être soit une courbe distincte de celles de la série, courbe qui peut dans certains cas être réduite à un point, soit une des courbes de la série. Un point d'enveloppe doit toujours être considéré comme étant un point commun à l'enveloppée passant par ce point et à l'enveloppée infiniment voisine. Et réciproquement: si deux courbes infiniment voisines d'une même série ont un point commun, celui-ci est toujours un point d'enveloppe. La tangente en un point quelconque d'une enveloppe est toujours tangente commune à l'enveloppe et à l'enveloppée passant par ce point. Réciproquement: si une courbe est tangente à une série continue de courbes comprises dans l'équation F(x, y, h) =o, elle est nécessairement une enveloppe de cette série de courbes. L'ordre du contact avec la surface S dont l'équation est F(x, y, z) = o, de la verticale passant par un des points du contour apparent de celle-ci, est toujours égal au nombre des dérivées partielles successives à partir de la première, de F par rapport à z, qui sont annulées par les valeurs x' y' z' des coordonnées du point de contact avec la surface de la verticale passant par le point donné du contour apparent. Etant donnée une courbe de contour apparent relative à la surface S, ainsi que la courbe II de contact avec la surface du cylindre vertical ayant le contour apparent pour base, l'ordre du contact avec la surface de la verticale. passant par un quelconque des points de la courbe II est généralement constant, et ne peut parfois varier que pour quelques points exceptionnels. Aussi peut-il servir à caractériser les enveloppes. Nous dirons que la courbe est enveloppe simple si l'ordre du contact avec la surface de la verticale passant par la généralité des points de la courbe II est égal à un; qu'elle est enveloppe de degré de multiplicité m-1 si l'ordre de ce contact est égal à m1. Si une enveloppe л, relative à la surface S dont l'équation est F(x, y, z) = o, est de degré de multiplicité m - 4, la courbe II de contact avec la surface du cylindre vertical ayant le contour apparent à toutes les surfaces S', S", équations sont respectivement .... pour base est commune d F d S (-2) et S(m-1) dont les = d2 F = 0,..... |